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Integration Zylinder direkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Di 20.03.2012
Autor: Quinix

Aufgabe
Vektorfeld u(x,y,z) = cos(z) * [mm] \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm]

Zylinder V = { (x,y,z) : | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 9 , 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \pi/2 [/mm] }

F sei die Randfläche von V mit äußeren Normalen n. Berechnen Sie:

I = [mm] \integral_{F}^{}{u dS} [/mm] direkt

Hallo Leute,
ich bräuchte ein wenig Hilfe was Verständnis angeht. Also ich verstehe zwar wie man das mit dem Satz von Gauß lösen kann. Allerdings ist mir nicht ganz klar wie ich das "direkt" lösen kann.
In der Musterlösung steht das u senkrecht auf den Normalen von Grund und Deckfläche des Zylinders steht. Sodass sich das Integral so vereinfachen lässt:

I = [mm] 18*\pi \integral_{0}^{\pi/2}{cos(z) dz} [/mm]

Die 18 * [mm] \pi [/mm] kommen wahrscheinlich zustande wegen Radius = 3 und Integration von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und 3*cos(z) bzw. den Vorfaktor 3 => [mm] 3*3*2\pi [/mm]  = [mm] 18\pi [/mm]

Allerdings verstehe ich nicht was mit dem Vektorfeld passiert, besser gesagt genauer mit diesem [mm] \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm]

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Grüße

        
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Integration Zylinder direkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Di 20.03.2012
Autor: leduart

Hallo
die äußere Normale hat doch die Richtung [mm] (x,y,0)^T [/mm] d.h. das Skalarprodukt ist [mm] cos(z)*(x^2+y^2) [/mm] jetzt [mm] x^2+y^2 [/mm] einsetzen.
vielleicht schreibst du in dein Integral besser  [mm] \vec{u}*\vec{dS} [/mm] damit du dran denkst, dass das ein Skalarprodukt ist.
gruss leduart

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Integration Zylinder direkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Di 20.03.2012
Autor: Quinix

Was meinst du genau mit [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] einsetzen?

gruß

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Integration Zylinder direkt: siehe Aufgabenstellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Di 20.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Quinix!


Siehe in die Aufgabenstellung. Was ist doch über [mm] $x^2+y^2$ [/mm] vorgegeben?


Gruß
Loddar


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Integration Zylinder direkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Di 20.03.2012
Autor: Quinix

Naja ich weiß ja das [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 9 ist aber ich hab doch das Skalarprodukt:
cos(z) * ( [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ) also hab ich ja dann unter dem Integral:

[mm] \integral_{F}^{}{9 cos(z) dz} [/mm] ?

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Integration Zylinder direkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Di 20.03.2012
Autor: leduart

Hallo
das Skalarprodukt uds ist [mm] cos(z)*r^2d\phidz [/mm]  an jedem punkt des Zylinders!

Gruss leduart


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Integration Zylinder direkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Mi 21.03.2012
Autor: Quinix

Genau und wie ich vorhin geschrieben habe wäre das ja dann :

[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{9 *cos(z) dz} [/mm] und zusätzlich bräuchte ich doch [mm] 2\pi [/mm] oder nicht ? also

[mm] 2\pi \integral_{0}^{\pi/2}{9 *cos(z) dz} [/mm] = 18 [mm] \pi \integral_{0}^{\pi/2}{cos(z) dz} [/mm]

gruß

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Integration Zylinder direkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mi 21.03.2012
Autor: leduart

Hallo
richtig aufgeschrieben ist es:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{z_m}{r^2cos(z)dzd\phi}} [/mm]
mit [mm] r^2=9 [/mm]
(maximales [mm] z=z_m [/mm] weiss ich grad nicht mehr.)
du hast die Integration über [mm] \phi [/mm] schon ausgeführt
Gruss leduart


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Integration Zylinder direkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 21.03.2012
Autor: Quinix

Danke für die Hilfe :)

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