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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für n [mm] \ge [/mm] 0
[mm] i_{n}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n}x dx}
[/mm]
[mm] i_{n+1}=\bruch{1}{n+1}-i_{n} [/mm] gilt. |
Ich habe versucht u=tanx zu substituieren, was aber vorne und hinten nicht passt >:(
Jemand eine bessere Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Fr 03.04.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo,
vielleicht hilft partielle Integration? [mm] \tan^n=\tan*\tan^{n-1}
[/mm]
Gruß Patrick
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Hallo Egga-oerks,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass für n [mm]\ge[/mm] 0
>
> [mm]i_{n}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n}x dx}[/mm]
>
> [mm]i_{n+1}=\bruch{1}{n+1}-i_{n}[/mm] gilt.
> Ich habe versucht u=tanx zu substituieren, was aber vorne
> und hinten nicht passt >:(
Diese Substitution ist doch gerade richtig.
Poste bitte mal, wie weit Du damit gekommen bist.
>
> Jemand eine bessere Idee?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Ich habe die Grenzen erstmal außer acht gelassen, und versucht eine Stammfunktion zu finden:
u=tan(x)
-> [mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{cos^2(x)}
[/mm]
-> dx= [mm] cos^2(x) [/mm] du
-> [mm] \integral{u^n cos^2(x) du}
[/mm]
Ab dieser Stelle komme ich nicht weiter. Darf ich [mm] cos^2(x) [/mm] durch [mm] cos^2(arctan(u)) [/mm] ersetzen? Rein interessehalber, weil auch wenn, hänge ich fest...
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Hallo Egga-oerks,
> Ich habe die Grenzen erstmal außer acht gelassen, und
> versucht eine Stammfunktion zu finden:
>
> u=tan(x)
> -> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]
> -> dx= [mm]cos^2(x)[/mm] du
>
> -> [mm]\integral{u^n cos^2(x) du}[/mm]
>
> Ab dieser Stelle komme ich nicht weiter. Darf ich [mm]cos^2(x)[/mm]
> durch [mm]cos^2(arctan(u))[/mm] ersetzen? Rein interessehalber, weil
> auch wenn, hänge ich fest...
Nun, da
[mm] u= \tan\left(x\right) [/mm]
ergibt sich
[mm] du = 1+\tan^{2}\left(x\right) \ dx = \bruch{1}{\cos^{2}\left(x\right)} \ dx[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm] du = 1+u^{2} \ dx = \bruch{1}{\cos^{2}\left(x\right)} \ dx[/mm]
Also
[mm] 1+u^{2} = \bruch{1}{\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]
Damit solltst Du jetzt weiterrechnen können.
Gruß
MathePower
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So ganz komme ich noch nicht weiter.
[mm] \integral{u^n\bruch{1}{1+u^2} du}
[/mm]
Wie integriere ich das? Partiell hab ichs versucht, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis.
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Hallo Egga-oerks,
> So ganz komme ich noch nicht weiter.
>
>
> [mm]\integral{u^n\bruch{1}{1+u^2} du}[/mm]
>
> Wie integriere ich das? Partiell hab ichs versucht, komme
> aber nicht auf das richtige Ergebnis.
Nun, führe eine Polynomdivision durch.
Gruß
MathePower
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Jetzt komme ich mir ja vollkommen unfähig vor...
Was kann ich denn da durch was teilen? Zumal [mm] u^n [/mm] keinen definierten Grad hat? Und [mm] 1+u^2 [/mm] auch keine Nullstelle? *confused*
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Fr 03.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Egga-Oerks!
[mm] $u^n [/mm] \ : \ [mm] \left(u^2+1\right) [/mm] \ = \ [mm] u^{n-2}-u^{n-4}...$
[/mm]
[mm] $-\left(u^n+u^{n-2}\right)$
[/mm]
$------------_$
[mm] $-u^{n-2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Fr 03.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Egga-Oerks!
Hast Du denn auch mal an eine vollständige Induktion gedacht? Das Integral im Induktionsschritt könnte man mit partieller Integration bearbeiten.
Gruß
Loddar
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Daran habe ich noch gar nicht gedacht, klingt aber ganz gut. Wie kann ich da ansetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Egga-oerks!
> Wie kann ich da ansetzen?
Beginne wir üblich mit dem Induktionsanfang und löse das Integral für $n \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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Okay, dann also
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^n(x) dx} |_{n=0}=(\bruch{\pi}{4}-0)=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Nur wie gehts weiter? Ich habe doch keine "richtige" Gleichung wie man sie sonst von der Induktion gewohnt ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Egga-oerks!
Nun weiter im Induktionsschritt mit partieller Integration. Die Gleichung hast Du doch durch die zu zeigende Behauptung $ i_{n+1}=\bruch{1}{n+1}-i_{n} $ .
$$i_{n+1} \ = \ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{\tan^{n+1}(x) \ dx} \ = \ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{\tan^1(x)*\tan^n}(x) \ dx} \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Egga-oerks |
Ups, ich sehe gerade, dass ich einen kleinen Fehler bei der Aufgabenstellung gemacht habe. Es heißt
[mm] i_{n+2}=\bruch{1}{n+1}-i_{n}
[/mm]
Und dafür kriege ich einfach nur Müll raus. Schon beim Fall n=0 sind bei mir beide Seiten der Gleichung verschieden:
[mm] i_{0}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{0}x dx}=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
aber
[mm] i_{n+2}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{2}(x) dx}=-0,7717\not=\bruch{1}{n+2}-i_{n}=\bruch{1}{n+1}-\integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n}x dx}=0,2146
[/mm]
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> Ups, ich sehe gerade, dass ich einen kleinen Fehler bei der
> Aufgabenstellung gemacht habe. Es heißt
>
> [mm]i_{n+2}=\bruch{1}{n+1}-i_{n}[/mm]
Na, daran hat man Freude ! Da rechnen sich ein paar
willige Helfer krumm, um dir beizustehen, und dann
kommst du nach 19 Stunden und verkündest gelassen,
dass du schon in der Aufgabenstellung einen "kleinen",
aber halt eben fundamentalen Fehler gemacht hast ...
Für die Helfer bedeutet dies, dass man Behauptungen
sinnvollerweise zuerst an Beispielen prüft (hier mit ein
paar kleinen n), bevor man sich auf komplexe Beweis-
versuche einlässt. Hier ist zum Beispiel [mm] i_0=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
und [mm] i_1=\bruch{ln(2)}{2}, [/mm] also kann die ursprüngliche
Behauptung schon hier nicht zutreffen.
Die neue Behauptung [mm] A_n: [/mm] "[mm]i_{n+2}=\bruch{1}{n+1}-i_{n}[/mm]"
habe ich jetzt für ein paar kleine n getestet:
für [mm] n\in\{0,1,2,3\} [/mm] trifft sie zu !
Gruß Al-Chw.
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Tut mir echt leid, hab den Vertipper einfach übersehen.
An den Lösungsansätzen sollte sich aber doch nichts grundsätzliches ändern, oder?
Ich weiß jetzt auch warum ich für den Induktionsanfang nicht das richtige rausbekommen hab: mein Taschenrechner war nicht auf Bogenmaß eingestellt :-/
Im Induktionsschritt müste ich doch jetzt von
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n+2}x\, dx}=\bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n}x \,dx}
[/mm]
auf
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n+3}x\, dx}=\bruch{1}{n+2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{tan^{n+1}x\, dx}
[/mm]
kommen, oder?
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> An den Lösungsansätzen sollte sich aber doch nichts
> Grundsätzliches ändern, oder?
Das schon nicht - aber wenn du von Anfang an die
richtige Formel angegeben hättest, hätte dir wohl
auch jemand wirklich helfen können.
Den Induktionsschritt habe ich selber noch gar nicht
versucht - ich vermute, dass es mit zweimaliger
partieller Integration gehen sollte, allenfalls auch
mit einer geschickten trigonometrischen Umformung
oder Substitution etwas einfacher.
LG
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