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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 11.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Bestimmen sie eine Stammfunktion zu [mm] \bruch{x^{2}+1}{x^{3}+1} [/mm] |
Hallo!
Dazu habe ich zunächst einmal herausgefunden, dass [mm] x^{3}+1 [/mm] eine zweifache Nullstelle bei x=-1 hat
Für die Partialbruchzerlegung brauche ich ja einen Ansatz, aber ich bin mir nciht mehr sicher, da esdoch nun shcon etwas her ist, wie der ANsatz genau geht.
Ich habe mal aufgeschrieben:
[mm] \bruch{x^{2}+1}{x^{3}+1}= \bruch{a}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{B*x+C}{x+1}
[/mm]
aber ich bin mir eben nicht mehr sicher ob das stimmt.
bitte um allgemeine Hilfestellen zu Nullstelle höherer Ordnung!
vielen dank,
katja
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Hallo Katja,
> Bestimmen sie eine Stammfunktion zu
> [mm]\bruch{x^{2}+1}{x^{3}+1}[/mm]
> Hallo!
>
> Dazu habe ich zunächst einmal herausgefunden, dass [mm]x^{3}+1[/mm]
> eine zweifache Nullstelle bei x=-1 hat ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dann hätte die Fkt. 3 reelle NSTen, was nicht stimmt, es ist [mm] $x^3+1=(x+1)\cdot{}(x^2-x+1)$
[/mm]
Der letzte Faktor hat keine reelle NST
> Für die Partialbruchzerlegung brauche ich ja einen
> Ansatz, aber ich bin mir nciht mehr sicher, da esdoch nun
> shcon etwas her ist, wie der ANsatz genau geht.
>
> Ich habe mal aufgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{x^{2}+1}{x^{3}+1}= \bruch{a}{x+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{B*x+C}{x+1}[/mm]
> aber ich bin mir eben nicht mehr sicher ob das stimmt.
Mit der obigen Faktorisierung des Nenners ergibt sich als Ansatz für die PBZ:
[mm] $\frac{x^2+1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$
[/mm]
>
> bitte um allgemeine Hilfestellen zu Nullstelle höherer
> Ordnung!
Schlimmstenfalls gibt's quadratische Faktoren ohne reelle NST(en)
Für die verschiedenen Ansätze einer PBZ siehe ![[]](/images/popup.gif) hier, etwa in der Mitte der Seite unter "Ansatz"
>
> vielen dank,
>
LG
schachuzipus
> katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 11.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, das stimmt.
habe nun als lösungen fuer a=2/3 und für b und c=1/3
danke für die hilfe, ich hofe ich komme nun weiter.
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> hm, das stimmt.
> habe nun als lösungen fuer a=2/3 und für b und c=1/3
>
> danke für die hilfe, ich hofe ich komme nun weiter.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gruß tee 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Fr 11.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, nun bin ich vor einem weiteren problem, wo ich nicht weiss, iwe ich es lösen soll
und zwar komme ich bei der Aufgabe durch weiterrechnen für die gesuchte Stammfunktion auf
F(x)= 2/3* ln(x+1) + [mm] 1/3*\integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{x^{2}-x+1} dx}
[/mm]
leider weiss ich nicht wie ich das verbleibende Integral lösen soll, da es keine reale Nullstelle hat.
WIe ist dort das Vorgehen?
danke, lg katja
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Hallo nochmal,
> hm, nun bin ich vor einem weiteren problem, wo ich nicht
> weiss, iwe ich es lösen soll
>
> und zwar komme ich bei der Aufgabe durch weiterrechnen für
> die gesuchte Stammfunktion auf
> F(x)= 2/3* ln(x+1) +
> [mm]1/3*\integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{x^{2}-x+1} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> leider
> weiss ich nicht wie ich das verbleibende Integral lösen
> soll, da es keine reale Nullstelle hat.
Ja, das ist etwas vertrackter, ich lasse mal den Vorfaktor weg.
Schreibe $\int{\frac{x+1}{x^2-x+1} \ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+2}{x^2-x+1} \ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1+3}{x^2-x+1} \ dx}$
$=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1} \ dx}+3\cdot{}\int{\frac{1}{x^2-x+1} \ dx\right]$
Das erstere ist nun ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
Das hat bekanntermaßen als Stammfunktion $\ln(|f(x)|)$ (Herleitung per Substitution des Nenners, $u:=f(x)$
Hier konkret $u:=x^2-x+1$
Das verbleibende Integral $\int{\frac{1}{x^2-x+1} \ dx}$ ist das schwierigste bei der ganzen Sache hier
quadr. Ergänzung im Nenner:
$=\int{\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \ dx}=\int{\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx}$
Nun im Nenner $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ ausklammern und vor das Integral ziehen.
Dann erinnere dich, wie das Integral $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}$ berechnet wird bzw. wie es lautet, ist ja ein Standardteil
Dann kommst du sicher auf die letzte notwendige Substitution
Gruß
schachuzipus
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> WIe ist dort das Vorgehen?
>
> danke, lg katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Fr 11.09.2009 | | Autor: | katjap |
sodele nach langem rummrechnen habe ich nun folgendes ergebnis:
F(x) = 2/3 ln(x+1)+1/6 ln [mm] (x^{2}-x+1) [/mm] + 2/3*arctan [mm] (2/\wurzel{3}x-1/\wurzel{3})
[/mm]
ich hoffe das stimmt nun so?
danke fuer die hilfe, das hat mir in einigen sachen viel geholfen, in der aufgabe ist echt alles kombiniert...
gruss katja
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> sodele nach langem rummrechnen habe ich nun folgendes
> ergebnis:
>
> F(x) = 2/3 ln(x+1)+1/6 ln [mm](x^{2}-x+1)[/mm] + 2/3*arctan
> [mm](2/\wurzel{3}x-1/\wurzel{3})[/mm]
>
beim arctan muss es heissen [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{3}/2}*atan...=\frac{1}{\sqrt{3}}*atan...
[/mm]
evtl vorfaktor vergessen? oder vergessen was zu substituieren beim integral?
>
> ich hoffe das stimmt nun so?
>
> danke fuer die hilfe, das hat mir in einigen sachen viel
> geholfen, in der aufgabe ist echt alles kombiniert...
>
> gruss katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 11.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm stimmt ich hatten den vorfaktor vergessen, den ich ausgeklammert hatte...
danke
gruss katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 15.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
ich habe die Aufgabe selbst gelöst (ohne hier in den Antworten nachzuschaun) und bin tatsächlich aufs richtige Ergebnis gekommen  - allerdings nach einer sehr langwierigen Rechnerei (habe das Ausgangsintegral insgesamt in 4 Einzelintegrale aufgeteilt). Einige Schritte hab ich natürlich genauso oder so ähnlich gemacht (also quadratische Ergänzung usw.), aber ich verstehe leider folgenden Zwischenschritt nicht:
> Nun im Nenner [mm]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2[/mm] ausklammern
> und vor das Integral ziehen.
Wenn ich das mache (ich wollte das als Alternativlösung zu meiner ausprobieren und sehen, ob es vllt. etwas schneller geht...), dann bekomme ich doch (ich betrachte jetzt nur das Einzelintegral [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-0,5)^{2}+(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}}dx} [/mm] ):
[mm] (\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}\*(\bruch{2}{\wurzel{3}}x^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}x+\bruch{0,5}{\wurzel{3}}+1)}dx}
[/mm]
Aber was bringt mir denn das?? das sieht ja schon ein bisschen eklig aus...
Wie mache ich denn da weiter?
Also ich habe das ganze mit der arctan-Formel: [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^{2}+n^{2}}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] arctan [mm] (\bruch{x}{n}) [/mm] + C gemacht, wobei x:=x-0,5 und [mm] n:=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
>
> Dann erinnere dich, wie das Integral [mm]\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}[/mm]
> berechnet wird bzw. wie es lautet, ist ja ein Standardteil
ach ja das Standartteil ist zumindest auch arctan ^^
Grüße
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Hallo à la fin,
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe selbst gelöst (ohne hier in den
> Antworten nachzuschaun) und bin tatsächlich aufs richtige
> Ergebnis gekommen
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> - allerdings nach einer sehr
> langwierigen Rechnerei (habe das Ausgangsintegral insgesamt
> in 4 Einzelintegrale aufgeteilt). Einige Schritte hab ich
> natürlich genauso oder so ähnlich gemacht (also
> quadratische Ergänzung usw.), aber ich verstehe leider
> folgenden Zwischenschritt nicht:
>
> > Nun im Nenner [mm]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2[/mm] ausklammern
> > und vor das Integral ziehen.
>
> Wenn ich das mache (ich wollte das als Alternativlösung zu
> meiner ausprobieren und sehen, ob es vllt. etwas schneller
> geht...), dann bekomme ich doch (ich betrachte jetzt nur
> das Einzelintegral
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-0,5)^{2}+(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}}dx}[/mm]
> ):
>
> [mm](\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}\*(\bruch{2}{\wurzel{3}}x^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}x+\bruch{0,5}{\wurzel{3}}+1)}dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Boah, was ist das denn fürn Ungetüm?!
Wir haben $\int{\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx} $
$=\int{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot{}\left[\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+1\right]} \ dx}$
Nun den Doppelbruch auflösen ...
$=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot{}\int{\frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1} \ dx}$
$=\frac{4}{3}\cdot{}\int{\frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1} \ dx}$
Und hier sieht mal doch die Substitution, die zum Integral $M\cdot{}\int{\frac{1}{u^2+1} \ du}$ führt ...
> Aber was bringt mir denn das?? das sieht ja schon ein
> bisschen eklig aus...
> Wie mache ich denn da weiter?
> Also ich habe das ganze mit der arctan-Formel:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^{2}+n^{2}}dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> arctan [mm](\bruch{x}{n})[/mm] + C gemacht, wobei x:=x-0,5 und
> [mm]n:=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
LG
schachuzipus
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