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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{x^2*\wurzel{x^2-1}\, dx [/mm] |
Ich habe [mm]x^2 -1 = u [/mm] substituiert. Damit ist dann [mm]x^2= u+1 [/mm] und [mm]x=\wurzel{u+1} [/mm] komme nun allerdings nicht mehr weiter, weil ich das Integral nicht auf ein mir bekanntes Grundintegral zurückführen kann: [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{ (u+1) \wurzel{u} (\wurzel{u+1}) [/mm]
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Hallo,
versuche mal
[mm] u=\wurzel{x^2-1}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
Ich verzweifele wahrscheinlich nur noch, weil wolframalpha immer nur eine andere Integration liefert als ich herausbekomme. Mit [mm] u=\wurzel {x^2-1}, x^2=u^2+1, x=\wurzel {u^2+1}, \bruch{du}{dx}=\bruch{x}{\wurzel{x^2-1}}, dx=\bruch{du*u}{\wurzel{u^2+1}}. [/mm] Bekomme ich das neue Integral [mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{du}{(u^2+1)*\wurzel{u^2+1} [/mm] Dies hilft mir jetzt jedoch nur bedingt weiter. Die Integration von [mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{(u^2+1)^ \left(\bruch{3}{2}\right)}. [/mm] Vereinfacht habe ich es jetzt irgendwie nicht...
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Die untere Integralgrenze in der Originalaufgabe kann nicht stimmen. Bitte korrigieren.
Und was die Lösung deines letzten Integrals betrifft, so differenziere einmal zum Spaß
[mm]F(u) = \frac{u}{\left( 1 + u^2 \right)^{-\frac{1}{2}}}[/mm]
Ich würde allerdings von vorneherein einen anderen Lösungsweg vorschlagen:
[mm]\frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x^2 \cdot x \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \, , \ \ x>1[/mm]
Und hier ist zuletzt der Faktor [mm]\frac{1}{x^3}[/mm] bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Radikanden [mm]1 - \frac{1}{x^2}[/mm]. Also wird man genau diesen Radikanden substituieren.
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