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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{x^4-x^2} [/mm] |
Hallo, ich habe eine Frage zum Aufstellen der Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{x^4-x^2}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x-1}+\bruch{D}{x+1}
[/mm]
wie kommt man dadrauf?
Es gilt doch [mm] x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1) [/mm] und nicht [mm] x^4-x^2=x*x^2(x-1)(x+1)
[/mm]
Lg
kreide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sobalsd eine Nullstelle doppelt ist, gilt für sie der Ansatz [mm] \bruch{Ax+B}{(x-x_0)^2} [/mm] hier ist [mm] x_0=0 [/mm] Dann ist das dasselbe wie [mm] A/x+B/x^2.
[/mm]
Aber du kannst das andere versuchen, und merkst einfach, dass du scheiterst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo leduart,
danke für die erklärung,
ich hab aber noch eine kleine Frage:
Betrachte folgenden bruch
[mm] \bruch{2}{x(x^2+1)}= \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2+1}
[/mm]
Hier habe ich ja nur eine Nullstelle x=0, also wäre A=0, aber wie rechne ich B aus? Ich habe in [mm] 2=A(x^2+1)+Bx [/mm] für A=2 eingesetzt, dann bekomme ich aber B in abhängigkeit von x raus...?!?
[mm] B=\bruch{-(x^2+1)}{x}, [/mm] muss ich dann die Nullstelle x=0 einsetzen? ich darf ja aber nicht durch 0 teilen :S
Lg kreide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Kroni |
> hallo leduart,
>
> danke für die erklärung,
>
> ich hab aber noch eine kleine Frage:
>
> Betrachte folgenden bruch
> [mm]\bruch{2}{x(x^2+1)}= \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2+1}[/mm]
>
> Hier habe ich ja nur eine Nullstelle x=0, also wäre A=0,
> aber wie rechne ich B aus? Ich habe in [mm]2=A(x^2+1)+Bx[/mm] für
> A=2 eingesetzt, dann bekomme ich aber B in abhängigkeit von
> x raus...?!?
>
> [mm]B=\bruch{-(x^2+1)}{x},[/mm] muss ich dann die Nullstelle x=0
> einsetzen? ich darf ja aber nicht durch 0 teilen :S
Hi,
schreib dir das nochmal so um: Der Zähler ergibt doch dann:
[mm] $Ax^2+Bx+A$ [/mm] und das soll gleich 2 sein für alle x! Das ist aber unmöglich, denn dann müsste A=0 und A=2 gleichzeitig sein, und das ist unmöglich.
Du musst also eine andere PZB wählen.
EDIT: Deine PZB scheitert, weil du keine relle Nullstelle für [mm] x^2+1 [/mm] findest. In Diesem Fall setze einfach mal folgendes an:
[mm] $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
[/mm]
D.h. du hast dann im Zähler des [mm] x^2+1 [/mm] eine ganzrat. Funktion, die vom Grad her 1 kleiner ist, als die im Nenner. Dann solltest du zu einem Ergebnis kommen.
LG
Kroni
LG
Kroni
>
> Lg kreide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hi,
> EDIT: Deine PZB scheitert, weil du keine relle Nullstelle
> für [mm]x^2+1[/mm] findest.
ja, ansonsten wäre B=i
In Diesem Fall setze einfach mal
> folgendes an:
>
> [mm]\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}[/mm]
>
> D.h. du hast dann im Zähler des [mm]x^2+1[/mm] eine ganzrat.
> Funktion, die vom Grad her 1 kleiner ist, als die im
> Nenner. Dann solltest du zu einem Ergebnis kommen.
>
ich hab das ausprobiert, es macht die sache aber nicht einfacher
A=2
[mm] 2=2(x^2+1)+(Bx+C)
[/mm]
[mm] 0=x^2(2+B)+Cx
[/mm]
hier bekomme ich für B und C wieder keine "normalen -zahlen" raus....
Lg kreide
PS: KAnn man [mm] \bruch{2}{x^3+x} [/mm] vielleicht auch anders integrieren als mit PBZ? IRgendwie scheint es ja mit PBZ nicht zu klappen
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> In Diesem Fall setze einfach mal
> > folgendes an:
> >
> > [mm]\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}[/mm]
> >
> > D.h. du hast dann im Zähler des [mm]x^2+1[/mm] eine ganzrat.
> > Funktion, die vom Grad her 1 kleiner ist, als die im
> > Nenner. Dann solltest du zu einem Ergebnis kommen.
> >
>
> ich hab das ausprobiert, es macht die sache aber nicht
> einfacher
> A=2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]2=2(x^2+1)+(Bx+C)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es muss heissen: [mm]2=2*(x^2+1)+(Bx+C)*x[/mm]
Daraus folgt sofort B = -2 und C = 0 !
> PS: KAnn man [mm]\bruch{2}{x^3+x}[/mm] vielleicht auch anders
> integrieren als mit PBZ?
Da sehe ich keine andere Möglichkeit.
> Irgendwie scheint es ja mit PBZ
> nicht zu klappen
.... es wird nun wohl gleich klappen !
LG al-Chwarizmi
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