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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Fr 17.11.2006 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Gegeben sei die 2 [mm] \pi-periodische [/mm] (Sprung-) Funktion
f(x) = 1 für 0<x< [mm] \pi
[/mm]
-1 für [mm] \pi |
Huhu!
In der weiteren Aufgabe geht es um FFT. Meine Fragen:
1.) Welchen Wert nimmt die Funktion für [mm] \pi, [/mm] 0 und 2 [mm] \pi [/mm] an?
2.) Für die Koeffizienten muß man die Funktion integrieren. Aber wie integriert man eine solche Funktion?
Gruß
Iris
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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1) An den Stellen ist die Funktion nicht definiert - das macht aber keinen unterschied, du könntest die ersten beide $<$ jeweils durch [mm] \le [/mm] ersetzen, dann ist die Funktion überall definiert.
2)
Naja, daß es keine COS-Terme gibt, sollte klar sein, oder?
Integriert wird das Ding natürlich stückweise, also
[mm] $a_n=...*\integral_0^\pi (+1)*\sin(...)dx+\integral_\pi^{2\pi} (-1)*\sin(...)dx$
[/mm]
Und weil du weißt, wie der SIN aussieht, wird daraus:
[mm] $a_n=...*2*\integral_0^\pi (+1)*\sin(...)dx$
[/mm]
Natürlich beziehen sich das, das vor dem Integral steht, und was in den Sinüssen drin steht, die ganze Zeit auf die Periode von [mm] 2\pi [/mm] !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Fr 17.11.2006 | | Autor: | IrisL. |
Hallo!
Danke erstmal.
So ganz versteh ich das mit den Integralen noch nicht. Dummerweise ist es mal wieder so, daß ich diesen Ansatz brauche, um die Aufgabe vollständig zu lösen. (Den Rest hab ich sogar schon fertig programmiert):
Bezieht sich Deine Formel nur auf das Integral der Funktion?
Oder ist das schon das Integral der FFT-Koeffizienten?
Dies lautet ja
[mm] b_{k}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)sin(kx) dx}
[/mm]
Dabei sind [mm] b_{2}=b_{4}usw.=0. [/mm] Wie sehen die ungeraden Koeffizienten aus? Wie man den sinus integriert ist mir klar, aber bleiben die Ergebnisse für 0 und [mm] 2\pi [/mm] gleich für die erste Funktion oder kehren sie sich um?
Gruß
Iris
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Hmh, ich verstehe irgendwie nicht ganz, was dein Problem ist.
Ich habe dir schon die Fourier-Koeffizienten gegeben.
Also, deine Formel ist
$ [mm] b_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)sin(kx) dx} [/mm] $
Jetzt setzt du da die Funktion ein. Dazu mußt du das Integral an der Sprungstelle zerlegen, also so:
$ [mm] b_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(kx) dx} -\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{\pi}^{2\pi}{sin(kx) dx}$
[/mm]
Und weil das zweite Integral grade das negative vom ersten ist, kannst du das zusammenfassen:
$ [mm] b_{k}=2\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(kx) dx}=2\bruch{1}{k\pi}\left[\cos(kx) \right]_0^\pi=2\bruch{1}{k\pi}(cos(k\pi)-1)$
[/mm]
Und wie du sagst, für grade k verschwindet das. Für ungrade k wird die Klammer zu -2, und du hast
[mm] $b_k=-\bruch{4}{k\pi}$
[/mm]
Um das mit dem "ungrade" besser zu formulieren, ersetzt du nun [mm] $k\to(2m+1)$. [/mm] Und zwar sowohl innerhalb des b's, als auch in dem Sinus, wenn du die Fourierreihe zusammenstellst. Das ist alles!
Und du siehst: Die Koeffizienten sind allesamt negativ - ist ja auch klar, denn die Funktion sieht ja aus, wie ein "eckiger Sinus", aber eben an der x-Achse gespiegelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Sa 18.11.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Klasse. Vielen Dank!
Hab mich schon geärgert, weil ich aufgrund des fehlenden Ansatzes wieder die ganze Aufgabe nicht lösen könnte.
Ich muß dringend nochmal Integration wiederholen.
Gruß
Iris
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