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Hallo,
ich habe mal eine grundsätzliche Frage zur Substitution bei Integralen. Wenn ich substituiere dann kann sowohl nach der ursprünglichen Variable abgeleitet werden wie in folgendem Beispiel:
[mm] \integral{e^{2x}*dx}
[/mm]
u=2x [mm] \Rightarrow dx=\br{du}{2}
[/mm]
als auch nach der neuen Variable wie in diesem Beispiel:
[mm] \integral{\br{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx}
[/mm]
x=2sin(u) [mm] \Rightarrow [/mm] dx=2cos(u)du
Ist das so korrekt?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo sonic,
> ich habe mal eine grundsätzliche Frage zur Substitution
> bei Integralen. Wenn ich substituiere dann kann sowohl nach
> der ursprünglichen Variable abgeleitet werden wie in
> folgendem Beispiel:
>
> [mm]\integral{e^{2x}*dx}[/mm]
>
> u=2x [mm]\Rightarrow dx=\br{du}{2}[/mm]
Das stimmt nicht. Rechne noch mal nach.
Quatsch. Alles richtig! Ich hab den Quelltext als dx=2du gelesen, das wäre falsch - aber das hast Du gar nicht geschrieben. Pardon.
In dieser Schreibweise ist außerdem nicht deutlich, wonach eigentlich abgeleitet wird.
Es ist ja [mm] x=\bruch{1}{2}u, [/mm] abgeleitet nach u: [mm] \br{dx}{du}=\br{1}{2}, [/mm] also auch (so wie es oben richtig wäre) [mm] dx=\br{1}{2}du
[/mm]
> als auch nach der neuen Variable wie in diesem Beispiel:
>
> [mm]\integral{\br{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx}[/mm]
>
> x=2sin(u) [mm]\Rightarrow[/mm] dx=2cos(u)du
>
> Ist das so korrekt?
Ja, das stimmt. Beides ist möglich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:08 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo sonic,
>
> > ich habe mal eine grundsätzliche Frage zur Substitution
> > bei Integralen. Wenn ich substituiere dann kann sowohl nach
> > der ursprünglichen Variable abgeleitet werden wie in
> > folgendem Beispiel:
> >
> > [mm]\integral{e^{2x}*dx}[/mm]
> >
> > u=2x [mm]\Rightarrow dx=\br{du}{2}[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Rechne noch mal nach.
das stimmt schon:
[mm] $u=u(x)=2x\,$
[/mm]
liefert
[mm] $du/dx=2\,,$
[/mm]
also
$du=2dx$
oder
[mm] $dx=\frac{1}{2}du\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi sonic,
> Hallo,
> ich habe mal eine grundsätzliche Frage zur Substitution
> bei Integralen. Wenn ich substituiere dann kann sowohl nach
> der ursprünglichen Variable abgeleitet werden wie in
> folgendem Beispiel:
>
> [mm]\integral{e^{2x}*dx}[/mm]
>
> u=2x [mm]\Rightarrow dx=\br{du}{2}[/mm]
>
> als auch nach der neuen Variable wie in diesem Beispiel:
>
> [mm]\integral{\br{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx}[/mm]
>
> x=2sin(u) [mm]\Rightarrow[/mm] dx=2cos(u)du
>
> Ist das so korrekt?
wie rev. schon sagte: Beides ist (oft) möglich. Ich würde mir aber merken,
was der eigentliche Hintergrund dabei ist - denn eigentlich liefert der
Beweis der Substitutionsregel, dass man hier "formal" so rechnen darf,
wie man es gerne hätte ($du=du/dx*dx$ <- "formal: erweitern"; aber
eigentlich steckt da eine 'mathematische Operation' dahinter...).
Überlege Dir halt auch mal, wann Du überhaupt, wenn [mm] $u=u(x)\,$ [/mm] gegeben
ist, sowas wie
$x=x(u)$ (<- "Umkehrfunktion")
hinschreiben kannst, damit der Term
[mm] $dx/du\,$
[/mm]
"sinnvoll wird".
P.S. Eventuell erinnerst Du Dich auch an eine Formel für die Ableitung einer
Umkehrfunktion...
Gruß,
Marcel
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