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Hallo,
gesucht ist der Flächeninhalt die folgende Kreisgleichung mit der Normalparabel einschließt:
[mm] 4=(x-2)^2+y^2 [/mm] und [mm] y=x^2
[/mm]
Mein Ansatz:
Schnittpunkte bestimmen durch Gleichsetzen und dann Tangentenverfahren:
Schnittpunkte sind:
[mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1,3787...
[/mm]
Somit habe ich also die Integrationsgrenzen...
Bestimmtes Integral bilden:
[mm] \integral _{0}^{1,38}{\wurzel{-x^2+4x}-x^2dx}
[/mm]
Integral aufteilen:
[mm] -\integral{x^2dx}+\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}
[/mm]
[mm] \integral{x^2dx}+I_1
[/mm]
Partielle Integration des Integrals [mm] I_1:
[/mm]
[mm] u=\br {1}{2}x^2 [/mm] u'=x und [mm] v=\wurzel {\br{4}{x}-1} v'=-\br {2}{x^2\wurzel {\br {4}{x}-1}}
[/mm]
[mm] I_1=\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}=\br{1}{2} x^2\wurzel {\br {4}{x}-1}+\integral{\br{1}{\wurzel{\br{4}{x}-1}}dx}
[/mm]
[mm] I_1=\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}=\br{1}{2} x^2\wurzel {\br {4}{x}-1}+I_2
[/mm]
Nun [mm] I_2 [/mm] berechnen:
[mm] I_2=2*\integral{\br{1}{2*\wurzel{\br{4}{x}-1}}dx}
[/mm]
[mm] I_2=2*\wurzel{\br{4}{x}-1}
[/mm]
So komme ich auf:
[mm] -\br{1}{3}x^3+\br{1}{2}x^2\wurzel{\br{4}{x}-1}+2*\wurzel{\br {4}{x}-1}
[/mm]
Das sollte die Stammfunktion sein. Wenn ich nun das bestimmte Integral berechnen will habe ich einen undefinierten Ausdruck wenn ich für x die Null einsetze :-(. Kann mir jemand helfen?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> Hallo,
> gesucht ist der Flächeninhalt die folgende Kreisgleichung
> mit der Normalparabel einschließt:
>
> [mm]4=(x-2)^2+y^2[/mm] und [mm]y=x^2[/mm]
>
> Mein Ansatz:
>
> Schnittpunkte bestimmen durch Gleichsetzen und dann
> Tangentenverfahren:
>
> Schnittpunkte sind:
>
> [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=1,3787...[/mm]
>
Das sind so ganz nebenbei keine Schnittpunkte sondern die Abszissen derselben (mehr braucht man ja aber hier auch nicht).
> Somit habe ich also die Integrationsgrenzen...
>
> Bestimmtes Integral bilden:
>
> [mm]\integral _{0}^{1,38}{\wurzel{-x^2+4x}-x^2dx}[/mm]
>
> Integral aufteilen:
>
> [mm]-\integral{x^2dx}+\integral{x*\wurzel{\br{4}{x}-1}dx}[/mm]
>
Ab hier brauchen wir uns nicht mehgr weiter darüber unterhalten. Deine Stammfunktion für den Halbkreis ist falsch. Verwende
[mm] \int{\wurzel{r^2-x^2} dx}=\bruch{1}{2}*\left[x*\wurzel{r^2-x^2}+r^2*arctan\left(\bruch{x}{\wurzel{r^2-x^2}}\right)\right]+C
[/mm]
Gruß, Diophant
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