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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Elchi |
| Aufgabe | Berechnen Sie durch geeignete Substitution
[mm] \integral{\wurzel{1+cos^{2}x}*sin(2x) dx} [/mm] |
Hallo,
leider weiß ich nicht so recht, was ich hier substituieren soll. Ich habe versucht, den gesamten Ausdruck unter der Wurzel zu substituieren, leider kann ich damit nicht weiterrechnen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Elchi!
also, eine substitution fällt mir grade auch nicht ein, aber mit den ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoremen kann man den term ganz schön vereinfachen!
ich habe folgendes benutzt:
[mm] \pm\bruch{\wurzel{1+\cos^2x}}{2}=\cos\left(\bruch{x}{2}\right)
[/mm]
[mm]\sin x * \cos y=\bruch{1}{2}*\left(\sin(x-y)+\sin(x+y)\right)[/mm]
nach kurzer rechnung komme ich dann auf:
[mm] \integral{\sin\left(\bruch{3}{2}x\right)+\sin\left(\bruch{5}{2}x\right)dx}
[/mm]
hoffe, das hilft dir weiter...
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Elchi |
Vielen Dank erstmal für die Mühe! :)
Das Ergebnis von $ [mm] \integral{\sin\left(\bruch{3}{2}x\right)+\sin\left(\bruch{5}{2}x\right)dx} [/mm] $
wäre dann nach meiner Rechnung: [mm] -\bruch{2}{3} \cos\left(\bruch{3}{2} x\right) -\bruch{2}{5} \cos\left(\bruch{5}{2} x\right) [/mm]
Das Ergebnis in meinen vorliegenden Lösungshinweisen lautet aber: [mm] -\bruch{2}{3}(1+\cos^2 x)^\bruch{3}{2}
[/mm]
Mache ich was verkehrt?
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Hi, Elchi,
leider war in Fullas Antwort ein Leichtsinnsfehler!
(siehe meine Mitteilung!)
Deine Lösung stimmt!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Fulla,
> aber mit den
> Additionstheoremen
> kann man den term ganz schön vereinfachen!
>
> ich habe folgendes benutzt:
>
> [mm]\pm\bruch{\wurzel{1+\cos^2x}}{2}=\cos\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm]
Da hast Du Dich vertippt!
Die Formel lautet nämlich:
[mm] cos^{2}(\bruch{x}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(1 [/mm] + cos(x))
Also: KEIN Quadrat in der Klammer und folglich auch nicht im Radikanden nach dem Wurzelziehen!
(Nebenbei müsste der 2er im Nenner auch noch in die Wurzel - aber naja!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:32 So 17.09.2006 | | Autor: | Fulla |
du hast recht, ich hab mich vertippt....
die 2 im nenner gehört natürlich mit unter die wurzel.......
tut mir leid, sorry
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Sa 16.09.2006 | | Autor: | riwe |
warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?
setze doch einfach [mm]1 + cos^{2}x = u \rightarrow -2sinx\cdot cosx\cdot dx = du\rightarrow -sin(2x)dx = du[/mm]
und schon bist am ziel
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Hi, Elchi,
> Berechnen Sie durch geeignete Substitution
> [mm]\integral{\wurzel{1+cos^{2}x}*sin(2x) dx}[/mm]
>
> leider weiß ich nicht so recht, was ich hier substituieren
> soll. Ich habe versucht, den gesamten Ausdruck unter der
> Wurzel zu substituieren, leider kann ich damit nicht
> weiterrechnen.
Wieso nicht?!
Mit z = [mm] 1+cos^{2}(x) [/mm]
kriegst Du doch
dz = -2*cos(x)*sin(x)dx
Und mit der Formel sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) ist das doch schon mehr als "die halbe Miete"!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Sa 16.09.2006 | | Autor: | riwe |
das steht aber schon in meinem beitrag eins darüber
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 So 17.09.2006 | | Autor: | riwe |
jetzt muß ich mich entschuldigen, war nicht bös gemeint.
hauptsache es hilft dem suchenden.
einen schönen sonntag wünsche ich dir
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![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
Hab' ich glatt überlesen! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
