Integralsatz für Sterngebiete < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Mi 18.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | Jede analytische Funktion f auf einem Sterngebiet D besitzt eine Stammfunktion in D.
Folgerung: Jede in einem beliebigen Gebiet D analytische Funktion besitzt wenigstens lokal eine Stammfunktion, d.h. zu jedem Punkt a aus D gibt es eine offene Umgebung U aus D, sodass Einschränkung der Funktion auf U eine Stammfunktion besitzt. |
Hi!
Ich verstehe den Satz und auch den Beweis. Ich habe aber diesbezüglich ein Problem mit der Funktion f(z)= 1/z.
Diese Funktion ist doch auf dem Kreis um -2 mit Radius 1 analytisch.
Dieser Kreis ist ein Sterngebiet.
Es müsste also eine Stammfunktion geben in diesem Gebiet. Und das kann ja nur Log sein. Log ist doch aber auf der reellen negativen Achse unstetig. Es kann doch also Log keine Stammfunktion sein, da eine Stammfunktion insbesondere stetig sein muss.
Wäre nett, wenn mir jemand hierbei helfen könnte und mir sagen kann, wo mein Denkfehler liegt. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Jede analytische Funktion f auf einem Sterngebiet D besitzt
> eine Stammfunktion in D.
> Folgerung: Jede in einem beliebigen Gebiet D analytische
> Funktion besitzt wenigstens lokal eine Stammfunktion, d.h.
> zu jedem Punkt a aus D gibt es eine offene Umgebung U aus
> D, sodass Einschränkung der Funktion auf U eine
> Stammfunktion besitzt.
> Hi!
> Ich verstehe den Satz und auch den Beweis. Ich habe aber
> diesbezüglich ein Problem mit der Funktion f(z)= 1/z.
> Diese Funktion ist doch auf dem Kreis um -2 mit Radius 1
> analytisch.
> Dieser Kreis ist ein Sterngebiet.
> Es müsste also eine Stammfunktion geben in diesem Gebiet.
> Und das kann ja nur Log sein. Log ist doch aber auf der
> reellen negativen Achse unstetig. Es kann doch also Log
> keine Stammfunktion sein, da eine Stammfunktion
> insbesondere stetig sein muss.
Mit Log meinst Du wahrscheinlich den Hauptzweig des Logarithmus.
Die von Dir angegebene Funktion auf obiger Kreischeibe hat als Stammfunktion einen anderen Zweig des Logarithmus !!! Welcher Zweig ist das ?
FRED
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> Wäre nett, wenn mir jemand hierbei helfen könnte und mir
> sagen kann, wo mein Denkfehler liegt. Danke
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:53 Mi 18.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Ach, da hätte ich eine Idee: Muss ich einfach den Log "nach oben schieben", sprich der Imaginärteils vom neuen Log ( ich nenne ihn L) um [mm] 2\pi [/mm] k nach oben?
Also z.B. L=Log + [mm] 2\pi [/mm] i ?
Die neuen unstetigen Stellen wären dann gerade auf der Parallelen zur reelen Achse im Abstand 2 nach oben.
Und L wäre die problemlose Stammfunktion?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 18.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
Halt! Dasändert doch gar nichts, oder? Muss ich nicht einfach nach oben verschieben, aber gerade nicht um ein Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ik?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich glaube, Dir fehlt eine Definition
Def:: Sei G ein Gebiet in [mm] \IC [/mm] und 0 [mm] \not\in [/mm] G. Eine Logarithmusfunktion auf G ist eine stetige Funktion L:G --> [mm] \IC [/mm] mit:
[mm] $e^{L(z)} [/mm] = z$ für jedes z [mm] \in [/mm] G.
Nun kann man folgendes zeigen ( G sei wie oben):
1. ist L eine Logarithmusfunktion auf G, so ist L auf G holomorph und
$L'(z) = 1/z$ auf G.
2. sind [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] Logarithmusfunktionen auf G, so gibt es ein k [mm] \in \IZ [/mm] mit:
[mm] $L_1-L_2 [/mm] = 2k [mm] \pi [/mm] i$ auf G.
3. ist G einfach zusammenhängend, so gibt es auf G Logarithmusfunktionen.
Falls Dir der Begriff "einfach zusammenhängend" nicht bekannt ist, Sterngebiete sind einfach zusammenhängend.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 18.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
nun, mir ist aber immer noch nicht klar, wie dieses L nun konkret aussehen soll. Und wieso kann man vorgeben, dass L stetig ist?
Ich hätte hierzu vielleicht noch eine andere Idee.
Log (Hauptzweig) ist ja deswegen unstetig, weil Arg (auch hier Hauptzweig) bei z=-1 unstetig ist. Könnte ich nicht den Wertebereich umdefinieren der Art, dass anstatt [mm] (-\pi, \pi] [/mm] der Wertbereich (0, [mm] 2\pi] [/mm] vorliegt. Dann hätte ich doch Unstetigkeitsstellen bei z=1 und somit beim neuen Log bei den postiven reelen Zahlen, oder?
Unabhängig davon wäre es nett, wenn du mir erklären könntest, wie ich in meinem konkrten Fall ein L bestimmen könnte, welches Stammfunktion ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist G = { z [mm] \in \IC: [/mm] |z+2|<1 }
Für z [mm] \in [/mm] G sei [mm] \gamma_z(t) [/mm] = -2+t(z+2) (t [mm] \in [/mm] [0,1])
L(z) : = [mm] \integral_{\gamma_z}^{}{1/w dw}
[/mm]
leistet das Verlangte
FRED
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Irgendwie macht es bei mir noch nicht klick.
Wenn ich das Integral ausrechne, sieht das bei mir so aus:
[mm] \integral_{\gamma_z}^{}{1/w dw} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{z+2}{-2+t\cdot (z+2)} dt} [/mm] = [mm] Log(-2+(z+2)\cdot [/mm] t (ausgewertet an Grenzen 1 und 0) = Log(z) + Log(-2)
Also wenn ich L ableite komme ich auf 1/z, das ist klar.
Aber woran erkenne ich, dass L stetig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 25.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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