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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 30.11.2008 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | Die Luft eines 30 m langen, 30 m breiten 12 m hohen Werkraumes enthalte 0,12 % Kohlendioxid. Wie viel Frischluft muss je Minute zugeführt werden, damit der Gehalt an Kohlendioxid nach 10 Minuten auf 0,06 % gesunken ist? Die Konzentration des Kohlendioxids in der Frischluft betrage dabei 0,04 %, und es werde angenommen, dass sich die Frischluft sofort mit der verunreinigten Luft vermischt.
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Hat wer ne Idee wie das zu lösen ist? Bin ehrlich gesagt ratlos... Habe versucht eine Funktion zu finden die das beschreibt aber das is echt unmöglich..
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Hier stand meine noch unfertige Antwort.
Webmaster: bitte löschen ! Gruß Al
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> Die Luft eines 30 m langen, 30 m breiten 12 m hohen
> Werkraumes enthalte 0,12 % Kohlendioxid. Wie viel
> Frischluft muss je Minute zugeführt werden, damit der
> Gehalt an Kohlendioxid nach 10 Minuten auf 0,06 % gesunken
> ist? Die Konzentration des Kohlendioxids in der Frischluft
> betrage dabei 0,04 %, und es werde angenommen, dass sich
> die Frischluft sofort mit der verunreinigten Luft
> vermischt.
hello newday,
Nehmen wir zuerst einmal noch an, dass jeweils
gleich viel verbrauchte Luft entweicht, wie
frische zugeführt wird. 
Wir brauchen ein paar Bezeichnungen:
$\ V:$ Hallenvolumen
$\ t:$ Zeit
$\ [mm] V_C(t):$ CO_2- [/mm] Volumen zum Zeitpunkt t
$\ c(t):$ [mm] CO_2- [/mm] Konzentration zum Zeitpunkt t
[mm] K=\bruch{dV}{dt}: [/mm] Rate des Luftaustausches in [mm] \bruch{m^3}{s}
[/mm]
Es gilt: [mm] c(t)=\bruch{V_C(t)}{V}
[/mm]
In einem (kleinen, wenn du magst infinitesimalen)
Zeitintervall wird ein Volumen $\ dV$ frische Luft der
Konzentration $\ [mm] c_{frisch}=0.0004$ [/mm] zugeführt, und es
entweicht ein ebenso grosses Volumen der Konzen-
tration $\ c(t)$.
Bilanz:
[mm] V_C(t+dt)=V_C(t)+dV*(c_{frisch}-c(t))
[/mm]
Umordnen und Division durch $\ V$ und $\ dt$ ergibt:
[mm] \bruch{c(t+dt)-c(t)}{dt}=\bruch{c_{frisch}-c(t)}{V}*\bruch{dV}{dt}
[/mm]
Der linke Term ergibt (im Limes) die Ableitung
[mm] \dot{c}(t) [/mm] der Konzentration $\ c(t)$ , und wir erhalten
die Differentialgleichung:
$\ [mm] \dot{c}(t)=\bruch{K}{V}*(c_{frisch}-c(t))$
[/mm]
Nun gilt es noch, diese aufzulösen, mit dem Anfangswert
$\ c(0)=0.0012$. Dann bleibt die Gleichung
$\ c(10)=0.0006$
nach K aufzulösen.
viel Spass beim Rechnen !
al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 30.11.2008 | | Autor: | newday |
wow, erst mal danke für die Hilfe!
Kenn mich aber noch nicht so ganz aus:
Wie kommst du auf [mm] K=\bruch{dV}{dt}? [/mm] und wieso 0,0004 anstatt 0,04?
Wie kommt man überhaupt auf die Gleichungen? woher nehmen wenn nicht stehlen?
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> wow, erst mal danke für die Hilfe!
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> Kenn mich aber noch nicht so ganz aus:
>
> Wie kommst du auf [mm]K=\bruch{dV}{dt}[/mm] ?
K ist nur eine Bezeichnung für die Geschwindigkeit
des Luftaustauschs in Kubikmeter pro Minute.
Mathematisch ist dieser die Ableitung [mm] \bruch{dV}{dt} [/mm] .
> und wieso 0,0004 anstatt 0,04?
0.04 Prozent = [mm] 0.04*\bruch{1}{100}=0.0004
[/mm]
> Wie kommt man überhaupt auf die Gleichungen?
> woher nehmen wenn nicht stehlen?
Gestohlen habe ich sie nicht, sondern auf einem
Blatt Papier entwickelt
Natürlich habe ich schon manch andere DGL so
aufgestellt.
Frag' doch nochmal nach, was im Einzelnen du
noch nicht durchschaust !
(Nebenfrage: seit etwa 2 Stunden hatte ich
erhebliche Mühe, auf den MR-Server zu kommen.
Es dauerte meistens mehrere Minuten oder war
ganz unmöglich. War (ist) das bei dir auch so ?
Ich vermute, dass der Server manchmal an seine
Grenzen stösst ...)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 30.11.2008 | | Autor: | newday |
Habe die gleichen Probleme mit dem Seitenzugriff, immer wieder is der Server völlig "down"...
Wie kommt man auf sowas? ich hab auch darüber nachgedacht aber auf irgendwelche Integrale komme ich nicht...
K=dV/dt
Also die Ableitung des Volumens nach der Zeit? V'(t)
dV/dt ist ja V'(t) aber was ist dann V(t)?
Also gut bei Prozent hab ich die Fehlannahme gemacht das 0,04%=0,04*x wobei das natürlich Unsinn ist da 4%=0,04*x ;)
$ [mm] \bruch{c(t+dt)-c(t)}{dt}=\bruch{c_{frisch}-c(t)}{V}\cdot{}\bruch{dV}{dt} [/mm] $
Der linke Term ergibt (im Limes) die Ableitung
$ [mm] \dot{c}(t) [/mm] $ der Konzentration $ \ c(t) $ , und wir erhalten
die Differentialgleichung:
$ \ [mm] \dot{c}(t)=\bruch{K}{V}\cdot{}(c_{frisch}-c(t)) [/mm] $
Kann mir leider auch nicht erklären wie du das ableitest?
[mm] \bruch{dc}{dt}=c'(t)
[/mm]
aber:
[mm] \bruch{c(t+dt)-c(t)}{dt}= [/mm] ??
du lässt dt gegen unendlich laufen?! wieso?
ich glaub ich bin zu dumm dafür :(
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> Habe die gleichen Probleme mit dem Seitenzugriff, immer
> wieder is der Server völlig "down"...
>
> Wie kommt man auf sowas? ich hab auch darüber nachgedacht
> aber auf irgendwelche Integrale komme ich nicht...
>
> K=dV/dt
>
> Also die Ableitung des Volumens nach der Zeit? V'(t)
> dV/dt ist ja V'(t) aber was ist dann V(t)?
Das Volumen V der Halle ändert sich natürlich nicht,
aber der Luftzustrom in [mm] m^3/Min [/mm] ist natürlich eine Ableitung.
>
> [mm]\bruch{c(t+dt)-c(t)}{dt}=\bruch{c_{frisch}-c(t)}{V}\cdot{}\bruch{dV}{dt}[/mm]
>
> Der linke Term ergibt (im Limes) die Ableitung
> [mm]\dot{c}(t)[/mm] der Konzentration [mm]\ c(t)[/mm] , und wir erhalten
> die Differentialgleichung:
>
> [mm]\ \dot{c}(t)=\bruch{K}{V}\cdot{}(c_{frisch}-c(t))[/mm]
>
> Kann mir leider auch nicht erklären wie du das ableitest?
>
> [mm]\bruch{dc}{dt}=c'(t)[/mm]
>
> aber:
> [mm]\bruch{c(t+dt)-c(t)}{dt}=[/mm] ??
man kann schreiben: dc=c(t+dt)-c(t)
>
> du lässt dt gegen unendlich laufen?! wieso?
natürlich nicht gegen unendlich, sondern gegen null !
Eigentlich hätte ich statt dt zuerst ein [mm] \Delta{t}>0
[/mm]
benützen können. Dann ist
[mm] c'(t)=\bruch{dc}{dt}=\limes_{\Delta{t}\to{0}}\bruch{\Delta{c}}{\Delta{t}}=\limes_{\Delta{t}\to{0}}\bruch{c(t+\Delta{t})-c(t)}{\Delta{t}}
[/mm]
(Definition der Ableitung !)
> ich glaub ich bin zu dumm dafür :(
spar dir solche Gedanken, die schaden dir nur
jeder fängt mit kleinen Schritten an 
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 30.11.2008 | | Autor: | newday |
hmmm ok das mit der Ableitung ist jetzt klar, aber wie du auf die Bilanz gekommen bist nicht, bzw. wie man das jetzt ausrechnen soll?
[mm] \dot{c}(t)=\bruch{K}{V}\cdot{}(c_{frisch}-c(t))
[/mm]
[mm] c(t)=\integral{\bruch{K}{V}\cdot{}(c_{frisch}-c(t))*dt}
[/mm]
[mm] c(t)=\bruch{K}{V}\integral{\cdot{}(c_{frisch}-c(t))*dt}
[/mm]
c(0)=0,0012
[mm] 0,0012=\bruch{K}{10800}\integral{\cdot{}(0,0004-0,0012*dt}
[/mm]
K=-16200/t
tja irgendwie Unsinn....
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> hmmm ok das mit der Ableitung ist jetzt klar, aber wie du
> auf die Bilanz gekommen bist nicht, bzw. wie man das jetzt
> ausrechnen soll?
Zur "Bilanz":
$\ [mm] V_C(t+dt)=V_C(t)+dV*(c_{frisch}-c(t))$
[/mm]
die Menge (in [mm] m^3) [/mm] des zufliessenden [mm] CO_2 [/mm] ist [mm] dV*c_{frisch},
[/mm]
die Menge des aus der Halle entweichenden ist $\ dV*c(t)$
(dabei ist $\ dV$ das Volumen der gesamten im Zeitintervall
dt zugeführten Luftmenge)
Und zur Lösung der DGL:
> [mm]\dot{c}(t)=\bruch{K}{V}\cdot{}(c_{frisch}-c(t))[/mm]
>
> [mm]c(t)=\integral{\bruch{K}{V}\cdot{}(c_{frisch}-c(t))*dt}[/mm]
>
> [mm]c(t)=\bruch{K}{V}\integral{\cdot{}(c_{frisch}-c(t))*dt}[/mm]
Das stimmt zwar so, führt aber nicht weiter, weil die
gesuchte Funktion $\ c(t)$ auch noch im Integranden steckt !
Eine Substitution macht die DGL übersichtlicher:
Setzen wir [mm] z(t):=c(t)-c_{frisch} [/mm] und [mm] a:=\bruch{K}{V}
[/mm]
Dann ist $\ [mm] \dot{z}(t)=\dot{c}(t)$, [/mm] und die DGL für $\ z(t)$ lautet:
$\ [mm] \dot{z}(t)=-a*z(t)$
[/mm]
und die kommt dir doch vielleicht irgendwie bekannt vor ...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 30.11.2008 | | Autor: | newday |
ok, ich geb es auf, das ist mir echt zu schwer, komm damit nicht zu Rande...
Es freut mich zu wissen, dass das Bsp. nicht unlösbar ist, aber für mich ist es das leider trotzdem.
Ich danke dir herzlich, dass du deine Zeit für mich geopfert hast aber das bringt glaub ich nichts mehr weiter zu machen. :-(
lg
Newday
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> ok, ich geb es auf, das ist mir echt zu schwer, komm damit
> nicht zu Rande...
>
> Es freut mich zu wissen, dass das Bsp. nicht unlösbar ist,
> aber für mich ist es das leider trotzdem.
Na hallo,
wir sind doch unmittelbar vor dem Ziel !
Die DGL
[mm] $\dot{z}(t)=\ [/mm] -a*z(t)$
hat als Lösung eine Exponentialfunktion.
Zur Erinnerung:
$\ y=\ [mm] e^x\ \Rightarrow\ [/mm] y'\ =\ [mm] (e^x)'\ [/mm] =\ [mm] e^x\ [/mm] =\ y$
$\ y=\ [mm] e^{k*x}\ \Rightarrow\ [/mm] y'\ =\ [mm] (e^{k*x})'\ [/mm] =\ [mm] k*e^{k*x}=k*y$
[/mm]
$\ y=\ [mm] C*e^{k*x}\ \Rightarrow\ [/mm] y'\ = [mm] (C*e^{k*x})'\ [/mm] =\ [mm] C*k*e^{k*x}=k*y$
[/mm]
Für unser Beispiel setzen wir deshalb
$\ z(t)=\ [mm] C*e^{k*t}$
[/mm]
[mm] $\dot{z}(t)=\ C*k*e^{k*t}=\ [/mm] k*z(t)=\ -a*z(t)$ also $\ k\ =\ -a$ !
Somit muss
$\ z(t)=\ [mm] C*e^{-a*t}$
[/mm]
sein. Setzen wir für $\ a$ wieder [mm] $\bruch{K}{V}$ [/mm] ein, so haben wir:
$\ z(t)=\ [mm] C*e^{-\bruch{K}{V}*t}$
[/mm]
Es ist $\ z(t)=\ [mm] c(t)-c_{frisch}=\ [/mm] c(t)-0.0004$ und damit
$\ c(t)=\ [mm] 0.0004+C*e^{-\bruch{K}{V}*t}$
[/mm]
Aus der Bedingung $\ c(0)=\ 0.0012$ berechnet man nun den
Wert der Konstanten $\ C$.
Aus der Gleichung $\ c(10)=\ 0.0006$ kannst du schliesslich,
wenn du für $\ V$ noch das Hallenvolumen einsetzt, die
Grösse $\ K$ berechnen. Die sagt dann, wieviele [mm] m^3
[/mm]
Frischluft pro Minute die Lüftungsanlage liefern muss.
Ich habe erhalten: $\ [mm] K\approx [/mm] 1500\ [mm] \bruch{m^3}{min}$
[/mm]
(25 [mm] m^3 [/mm] pro Sekunde - ziemlich viel nach meiner
bescheidenen Meinung ...)
So, und jetzt schönen Abend !
Al-Chwarizmi
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