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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 17.02.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | f(t) = 0,3 + 35 * (1- [mm] e^{-0,02t})^2 [/mm] beschreibt das Wachstum einer Buche 1; f(t) ist die Höhe der Buche in Meter.
f'(t) = 1,4 * [mm] (e^{-0,02t} -e^{-0,04t}) [/mm] beschreibt die momentane Wachstumsrate von Buche 1
g'(t) = 1,1 * [mm] (e^{-0,02t}-e^{-0,04t}) [/mm] beschreibt die momentane Wachstumsrate einer Buche 2
g(t) = 27,5 * [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t}) [/mm] + 0,3 ist die Stammfunktion von g'(t), die das Wachstum der Buche 2 in Metern angibt; t ist immer in Jahren.
Jemand behauptet, dass die beiden Buchen nach 50 Jahren ihrer Anpflanzung (hatten eine Anfangshöhe von 0,3m) einen Höhenunterschied von 3,50m aufweisen müssten. Ist das wahr?
Hinweis: f(t) / f'(t) ist zu jedem zeitpunkt größer als g(t)/g'(t). |
Ich verstehe nicht so ganz, wie man an die Lösung kommen soll. Ich habe gedacht, man rechnet einfach f(50) - g(50) und hat dann die Differenz, aber da bei g(50) bei mir ein negativer Wert herauskommt (g(50) = -16,51m) weiß ich, dass das nicht sein kann. Warum ist das mathematisch nicht möglich... Logissch wäre es doch? Dann hab ich überlegt, das über Integrale zu lösen
Also [mm] \integral_{0}^{50}{f'(t) dt} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{50}{g'(t) dt}
[/mm]
Laut Lösung ist aber auch dies falsch. Man hätte f(50) - [mm] \integral_{0}^{50}{g'(t) dt} [/mm] rechnen müssen. Das verstehe ich aber überhaupt nicht... Kann mir bitte jemand erklären, warum meine Lösungen nicht funktionieren und nur die letzte möglich ist?
Danke für eure Hilfe ! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Di 17.02.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
Bei f'(t) muss als Koeffizient 1,4 stehen , nicht 1,1 ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Di 17.02.2015 | | Autor: | Fulla |
> f(t) = 0,3 + 35 * (1- [mm]e^{-0,02t})²[/mm] beschreibt das Wachstum
> einer Buche 1; f(t) ist die Höhe der Buche in Meter.
>
> f'(t) = 1,1 * [mm](e^{-0,02t} -e^{-0,04t})[/mm] beschreibt die
> momentane Wachstumsrate von Buche 1
>
> g'(t) = 1,1 * [mm](e^{-0,02t}-e^{-0,04t})[/mm] beschreibt die
> momentane Wachstumsrate einer Buche 2
>
> g(t) = 27,5 * [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})[/mm] + 0,3 ist die
> Stammfunktion von g'(t), die das Wachstum der Buche 2 in
> Metern angibt; t ist immer in Jahren.
>
> Jemand behauptet, dass die beiden Buchen nach 50 Jahren
> ihrer Anpflanzung (hatten eine Anfangshöhe von 0,3m) einen
> Höhenunterschied von 3,50m aufweisen müssten. Ist das
> wahr?
>
> Hinweis: f(t) / f'(t) ist zu jedem zeitpunkt größer als
> g(t)/g'(t).
>
> Ich verstehe nicht so ganz, wie man an die Lösung kommen
> soll. Ich habe gedacht, man rechnet einfach f(50) - g(50)
> und hat dann die Differenz, aber da bei g(50) bei mir ein
> negativer Wert herauskommt (g(50) = -16,51m) weiß ich,
> dass das nicht sein kann. Warum ist das mathematisch nicht
> möglich... Logissch wäre es doch? Dann hab ich überlegt,
> das über Integrale zu lösen
>
> Also [mm]\integral_{0}^{50}{f'(t) dt}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{50}{g'(t) dt}[/mm]
>
> Laut Lösung ist aber auch dies falsch. Man hätte f(50) -
> [mm]\integral_{0}^{50}{g'(t) dt}[/mm] rechnen müssen. Das verstehe
> ich aber überhaupt nicht... Kann mir bitte jemand
> erklären, warum meine Lösungen nicht funktionieren und
> nur die letzte möglich ist?
Hallo Tabs2000,
ich vermute mal, dass du uns nicht die originale Aufgabenstellung verraten hast...
dein Ansatz [mm]f(50)-g(50)[/mm] ist schon richtig. Die angegebenen Funktionen scheinen aber nicht zu passen. Die Buche 2 kann nach 50 Jahren ja nicht über 16m nach unten gewachsen sein...
War das Bestimmen von $g(t)$ vielleicht eine vorangegangene Teilaufgabe?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 17.02.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
Also, ich hatte mich bei einer f'(t) ja einmal verschrieben - da muss als Koeffizient 1,4 anstatt 1,1 hin und bei den Funktionen handelt es sich um Kontrollergebnisse aus der Abituraufgabe Mathe GK, NRW 2013 (Aufgabe 1, WTR)
Das mit den -16,... hat mich auch gewundert, aber in den Lösungen wird dieser Wert auch angegeben, als man das Integral von g' im Intervall I[0;50] berechnen soll. Da steht dann genau:
14,285-(((-16,512-(-27,5))+0,3) = 2,997 < 3,5
f(50) - [ [mm] \integral_{0}^{50}{g'(t) + 0,3 dt}
[/mm]
Die 0,3 war noch nicht ergänzt, die hab ich in der Aufgabenstellung oben aber ergänzt, denn in der Abiklausur ging es darum, dass man eben auch diese Anfangshöhe berücksichtigen muss ,die in der Stammfunktion noch nicht direkt berücksichtigt wurde.
Also:
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Di 17.02.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dein f und f' passen nicht zusammen.
2. dein g(x) ist nicht das zu g(' passende g, es war ja Anfangshöhe also bei t=0 0,3m angegeben, aber setz mal t=0) in dein g ein dann bekommst du -27,5+0,3=-27.5m zur Zeit t=0 raus!
also stimmt etwas an deinen Angaben nicht. überprüfe doch noch mal!
wenn g' stimmt muss in g statt +0,3 +27.8 stehen.
Gruß leduart
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> Also, ich hatte mich bei einer f'(t) ja einmal verschrieben
Hallo,
ich habe das im Eingangspost jetzt mal korrigiert und auch das "hoch 2" bei der Funktion f sichtbar gemacht.
1. Lösung:
Natürlich kannst Du den Höhenunterschied nach 50 Jahren durch f(50)-g(50) berechnen.
Aber die Funktion g muß man erstmal finden.
Du hattest g'(t)=1,1 * $ [mm] (e^{-0,02t}-e^{-0,04t}) [/mm] $,
und es ist [mm] g_0(t)=27,5 [/mm] * $ [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t}) [/mm] $ eine (!) Stammfunktion davon,
ebenso sind
[mm] g_{5}(t)=27,5 [/mm] * $ [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+5,
[/mm]
[mm] g_{123}(t)=27,5 [/mm] * $ [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+123,
[/mm]
[mm] g_{c}(t)=27,5 [/mm] * $ [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+c, \qquad c\in \IR
[/mm]
Stammfunktionen.
Du mußt jetzt erstmal die Stammfunktion finden, für die die Anfangsgröße des Bäumchens 0.3 m ist.
Also mußt Du das c herausfinden, für welches gilt
[mm] g_c(0)=0.3,
[/mm]
also
27,5 * $ [mm] (e^{-0,04*0}-2e^{-0,02*0})+c=0.3
[/mm]
==> c=27.8
Die Funktion, die die Höhe des Baumes in Abhängigkeit von der Zeit seit Pflanzung angibt, ist also die Funktion
g(t)=27,5 * $ [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+27,8 [/mm] .
Und mit dieser richtig bestimmten Funktion kannst Du dann den Höhenunterscheid nach 50 Jahren so ausrechnen, wie Du es ursprunglich geplant hattest:
Höhenunterschied d= f(50)-g(50).
2. Lösung mit Integral:
[mm] \integral_0^{50}g'(t)dt [/mm] sagt uns, um wieviel m Baum2 in 50 Jahren gewachsen ist.
Da der Baum bei der Pflanzung 0.3 m hoch war, beträgt seine Höhe nach 50 Jahren
[mm] 0.3+\integral_0^{50}g'(t)dt,
[/mm]
und Du bekommst den Höhenunterschied nach 50 Jahren, indem Du rechnest:
[mm] d=f(50)-[0.3+\integral_0^{50}g'(t)dt].
[/mm]
2. Lösung mit Integral:
[mm] \integral_0^{50}f'(t)dt [/mm] sagt uns, um wieviel m Baum1 in 50 Jahren gewachsen ist
[mm] \integral_0^{50}g'(t)dt [/mm] sagt uns, um wieviel m Baum2 in 50 Jahren gewachsen ist,
und da sie zu Beginn gleichgroß waren (!), bekommst Du die Höhendifferenz auch so, wie Du im Eingangspost u.a. schriebst:
[mm] d=\integral_0^{50}f'(t)dt-\integral_0^{50}g'(t)dt [/mm]
Im Eingangspost schriebst Du, daß man lt. Lösungshinweis
> > > hätte f(50) - $ [mm] \integral_{0}^{50}{g'(t) dt} [/mm] $ rechnen müssen.
Das ist falsch.
> Das mit den -16,... hat mich auch gewundert, aber in den
> Lösungen wird dieser Wert auch angegeben, als man das
> Integral von g' im Intervall I[0;50] berechnen soll. Da
> steht dann genau:
>
> 14,285-(((-16,512-(-27,5))+0,3) = 2,997 < 3,5
Das ist die Lösung 2:
[mm] f(50)-(\integral_0^{50}g'(t)dt [/mm] +0.3)
>
> f(50) - [ [mm]\integral_{0}^{50}{g'(t) + 0,3 dt}[/mm]
Nein, die 0.3 gehört nicht ins Integral.
Integral: Zuwachs,
0.3 ist Anfangsgröße.
LG Angela
>
> Die 0,3 war noch nicht ergänzt, die hab ich in der
> Aufgabenstellung oben aber ergänzt, denn in der Abiklausur
> ging es darum, dass man eben auch diese Anfangshöhe
> berücksichtigen muss ,die in der Stammfunktion noch nicht
> direkt berücksichtigt wurde.
>
> Also:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Mi 18.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Also, ich hatte mich bei einer f'(t) ja einmal verschrieben
>
> Hallo,
>
> ich habe das im Eingangspost jetzt mal korrigiert und auch
> das "hoch 2" bei der Funktion f sichtbar gemacht.
>
> 1. Lösung:
>
> Natürlich kannst Du den Höhenunterschied nach 50 Jahren
> durch f(50)-g(50) berechnen.
> Aber die Funktion g muß man erstmal finden.
Hallo Angela,
Du hast die Aufgabe evtl. richtig interpretiert, aber, wenn ich das lese (ich zitiere wörtlich):
"g(t) = 27,5 * $ [mm] (e^{-0,04t}-2e^{-0,02t}) [/mm] $ + 0,3 ist die Stammfunktion von g'(t), die das Wachstum der Buche 2 in Metern angibt,"
so bedeutet das für mich: dieses g gibt das Wachstum von Buche 2 an.
Fazit: wenn Tabs 2000 die Aufgabenstellung wörtlich wiedergegeben hat, so gehört der Aufgabensteller gesteinigt !
Gruß FRED
>
> Du hattest g'(t)=1,1 * [mm](e^{-0,02t}-e^{-0,04t}) [/mm],
>
> und es ist [mm]g_0(t)=27,5[/mm] * [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})[/mm] eine (!)
> Stammfunktion davon,
> ebenso sind
> [mm]g_{5}(t)=27,5[/mm] * $ [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+5,[/mm]
> [mm]g_{123}(t)=27,5[/mm] * $ [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+123,[/mm]
> [mm]g_{c}(t)=27,5[/mm] * $ [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+c, \qquad c\in \IR[/mm]
>
> Stammfunktionen.
>
> Du mußt jetzt erstmal die Stammfunktion finden, für die
> die Anfangsgröße des Bäumchens 0.3 m ist.
> Also mußt Du das c herausfinden, für welches gilt
> [mm]g_c(0)=0.3,[/mm]
> also
> 27,5 * $ [mm](e^{-0,04*0}-2e^{-0,02*0})+c=0.3[/mm]
> ==> c=27.8
>
> Die Funktion, die die Höhe des Baumes in Abhängigkeit von
> der Zeit seit Pflanzung angibt, ist also die Funktion
> g(t)=27,5 * $ [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})+27,8[/mm] .
>
> Und mit dieser richtig bestimmten Funktion kannst Du dann
> den Höhenunterscheid nach 50 Jahren so ausrechnen, wie Du
> es ursprunglich geplant hattest:
>
> Höhenunterschied d= f(50)-g(50).
>
>
> 2. Lösung mit Integral:
>
> [mm]\integral_0^{50}g'(t)dt[/mm] sagt uns, um wieviel m Baum2 in 50
> Jahren gewachsen ist.
> Da der Baum bei der Pflanzung 0.3 m hoch war, beträgt
> seine Höhe nach 50 Jahren
>
> [mm]0.3+\integral_0^{50}g'(t)dt,[/mm]
>
> und Du bekommst den Höhenunterschied nach 50 Jahren, indem
> Du rechnest:
>
> [mm]d=f(50)-[0.3+\integral_0^{50}g'(t)dt].[/mm]
>
>
> 2. Lösung mit Integral:
>
> [mm]\integral_0^{50}f'(t)dt[/mm] sagt uns, um wieviel m Baum1 in 50
> Jahren gewachsen ist
> [mm]\integral_0^{50}g'(t)dt[/mm] sagt uns, um wieviel m Baum2 in 50
> Jahren gewachsen ist,
>
> und da sie zu Beginn gleichgroß waren (!), bekommst Du die
> Höhendifferenz auch so, wie Du im Eingangspost u.a.
> schriebst:
>
> [mm]d=\integral_0^{50}f'(t)dt-\integral_0^{50}g'(t)dt[/mm]
>
>
> Im Eingangspost schriebst Du, daß man lt. Lösungshinweis
> > > > hätte f(50) - [mm]\integral_{0}^{50}{g'(t) dt}[/mm]
> rechnen müssen.
> Das ist falsch.
>
>
>
> > Das mit den -16,... hat mich auch gewundert, aber in den
> > Lösungen wird dieser Wert auch angegeben, als man das
> > Integral von g' im Intervall I[0;50] berechnen soll. Da
> > steht dann genau:
> >
> > 14,285-(((-16,512-(-27,5))+0,3) = 2,997 < 3,5
>
> Das ist die Lösung 2:
>
> [mm]f(50)-(\integral_0^{50}g'(t)dt[/mm] +0.3)
>
> >
> > f(50) - [ [mm]\integral_{0}^{50}{g'(t) + 0,3 dt}[/mm]
>
> Nein, die 0.3 gehört nicht ins Integral.
> Integral: Zuwachs,
> 0.3 ist Anfangsgröße.
>
> LG Angela
> >
> > Die 0,3 war noch nicht ergänzt, die hab ich in der
> > Aufgabenstellung oben aber ergänzt, denn in der Abiklausur
> > ging es darum, dass man eben auch diese Anfangshöhe
> > berücksichtigen muss ,die in der Stammfunktion noch nicht
> > direkt berücksichtigt wurde.
> >
> > Also:
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> Du hast die Aufgabe evtl. richtig interpretiert, aber, wenn
> ich das lese (ich zitiere wörtlich):
>
> "g(t) = 27,5 * [mm](e^{-0,04t}-2e^{-0,02t})[/mm] + 0,3 ist die
> Stammfunktion von g'(t), die das Wachstum der Buche 2 in
> Metern angibt,"
>
> so bedeutet das für mich: dieses g gibt das Wachstum von
> Buche 2 an.
>
> Fazit: wenn Tabs 2000 die Aufgabenstellung wörtlich
> wiedergegeben hat, so gehört der Aufgabensteller
> gesteinigt !
Hallo Fred,
der Aufgabensteller kommt in diesem Falle ungeschoren davon:
in der Originalaufgabe sind f und g' gegeben,
die Stammfunktion ist vom Schüler zu bestimmen.
Ich denke, Tabs 2000 war's...
Ich würde vorschlagen, daß wir Tabs 2000 Welpenschutz zugestehen und ihn nicht steinigen.
Er meint es gut und richtig - und hat bis auf die Panne mit der falschen Konstanten gar nicht schlecht überlegt!
LG Angela
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