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| Aufgabe | Bilden Sie die Obersumme aus [mm] f(x)=4x^2+2; [/mm]
[mm] dx=\bruch{x}{n}; [/mm] A=f(x)*dx |
Um die Obersumme zu bilden setzt man dx bzw. [mm] \bruch{x}{n} [/mm] ein
[mm] \overline{A}_{1}= (4(\bruch{x}{n})^2+2)*\bruch{x}{n}=(4\bruch{x^2}{n^2}+2)*\bruch{n}{x}) =4\bruch{x^3}{n^3}+\bruch{x}{n}
[/mm]
[mm] \overline{A}_{2}= (4(\bruch{2x}{n})^2+2)*\bruch{x}{n}=(4\bruch{4x^2}{n^2}+2)*\bruch{n}{x}) =4\bruch{4^3}{n^3}+\bruch{x}{n}
[/mm]
[mm] \overline{A}_{n}= 4\bruch{n^2 x^3}{n^3}+\bruch{x}{n}
[/mm]
dann werden die Summen zusammen gerechnet, wie geht man da vor?
[mm] \overline{A}_{1}+\overline{A}_{2}+...+\overline{A}_{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 So 04.10.2009 | | Autor: | iks |
HI schueler_sh!
> Bilden Sie die Obersumme aus [mm]f(x)=4x^2+2;[/mm]
> [mm]dx=\bruch{x}{n};[/mm] A=f(x)*dx
> Um die Obersumme zu bilden setzt man dx bzw. [mm]\bruch{x}{n}[/mm]
> ein
> [mm]\overline{A}_{1}= (4(\bruch{x}{n})^2+2)*\bruch{x}{n}=(4\bruch{x^2}{n^2}+2)*\bruch{n}{x}) =4\bruch{x^3}{n^3}+\bruch{x}{n}[/mm]
>
> [mm]\overline{A}_{2}= (4(\bruch{2x}{n})^2+2)*\bruch{x}{n}=(4\bruch{4x^2}{n^2}+2)*\bruch{n}{x}) =4\bruch{4^3}{n^3}+\bruch{x}{n}[/mm]
>
> [mm]\overline{A}_{n}= 4\bruch{n^2 x^3}{n^3}+\bruch{x}{n}[/mm]
> dann
> werden die Summen zusammen gerechnet, wie geht man da vor?
>
> [mm]\overline{A}_{1}+\overline{A}_{2}+...+\overline{A}_{n}[/mm]
>
Ich denke es fehlen noch einige Angaben zur Aufgabe (z.B. Das Intervall obwohl ich $[0,x]$ vermute).
Weißt du was eine Obersumme ist? Kannst dir ja mal den kleinen Film ![[]](/images/popup.gif) hier anschauen.
So meine Vermutungen richtig sind, lautet die Aufgabe ungefähr so:
Berechne die $n$-te Obersumme von [mm] $f(x)=4x^2+2$ [/mm] im Intevall $[0,x]$
Wenn du dir den Film angeschaut hast weisst du, dass das Intervall dafür in $n$ gleichgroße Teilintervalle [mm] ($I_n$) [/mm] der Länge [mm] $dx=\frac{x}{n}$ [/mm] zerlegt wird.
Also:
[mm] $I_1=[0,\frac{x}{n}],I_2=[\frac{x}{n},\frac{2x}{n}],...,I_{n-1}=[\frac{(n-2)x}{n},\frac{(n-1)x}{n}],I_n=[\frac{(n-1)x}{n},\frac{nx}{n}=x]$
[/mm]
Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist $A=a*b$ und wir haben nun die Fläche unter den Graphen von $f$ in $n$ Rechtecke zerlegt mit [mm] $a=dx=\frac{x}{n}$, [/mm] während
$b= [mm] \text{ größter Wert von }f(x) \text{ im jeweiligen Intervall ist}$
[/mm]
Da nun deine Funktion auf [0,x] monoton wachsend ist, gilt für [mm] $0\leq [/mm] a<b$ [mm] $f(a)\leq [/mm] f(b)$.
Das $n$-te Rechteck hat also den Flächenninhalt [mm] $A_n=dx*f(x)$
[/mm]
Das $n-1$te Rechteck den Flächeninhalt [mm] $A_{n-1}=dx*f(\frac{(n-1)x}{n})$
[/mm]
bis runter zu
ersten Rechteck mit [mm] $A_1=dx*f(\frac{x}{n})$
[/mm]
Die $n$te Obersumme ergibt sich dann durch aufsummieren der $n$ Flächeninhalte also:
[mm] $O_n=A_1+A_2+...+A_n$
[/mm]
daran kannst du dich ja erst einmal versuchen.
mFg iks
PS: Es lohnt sich das erstmal für $n=3$ oder $n=4$ durchzuspielen 
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