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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | | Es sei g eine in R stetig differenzierbare Funktion. Für jedes x aus einem Intervall [a;b] gilt: g(x) > 0 , g'(x) > 0. Die Funktion h ist gegeben durch h [mm] \to [/mm] g'(x) * [mm] \wurzel{g(x)} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [a;b]. Der Graph von schließt mit der x-Achse und den Graphen x=a und x=b eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Bestimmen Sie g(a) und g(b), wenn g(b)= [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] * g(a) ist. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe vor mir, komme aber bei der Integration nicht ganz weiter.
Ich habe jetzt die Integralfunktion aufgestellt:
[mm] \integral_{a}^{b}{g'(x)* \wurzel{g(x)} dx} [/mm] = 1
So, nun muss ich es integrieren, ich möchte es mit der partiellen Integration machen, krieg aber irgendwie nicht hin.
Ich habe für u= [mm] \wurzel{g(x)} [/mm] und v' = g'(x) genommen.
Dann habe ich das hier stehen:
[mm] \wurzel{g(x)} [/mm] * g(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)* \bruch{1}{2} \bruch{1}{\wurzel{g(x)}} dx}
[/mm]
Nun weiß ich nicht weiter, weil egal was ich für u bzw. v' nehme, kriege ich keine Funktion weg, kann sie aber auch nicht auf die gleiche "Stufe"(also 1. Ableitung oder Stammfunktion) bringen.
Muss ich da etwa Substituionsregel nehmen? Ich kann das nemlich nicht mehr. :(
Oder habe ich irgendwo ein Fehler gemacht?
Oder gibt es sogar einen viel leichteren Weg?
Vielen Dank
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Fr 08.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> So, nun muss ich es integrieren, ich möchte es mit der
> partiellen Integration machen, krieg aber irgendwie nicht
> hin.
> Ich habe für u= [mm]\wurzel{g(x)}[/mm] und v' = g'(x) genommen.
> Dann habe ich das hier stehen:
> [mm]\wurzel{g(x)}[/mm] * g(x) - [mm]\integral_{a}^{b}{g(x)* \bruch{1}{2} \bruch{1}{\wurzel{g(x)}} dx}[/mm]
Der Integrad stimmt nicht, du hast beim Ableiten von [mm] $\sqrt{g(x)}$ [/mm] die Ableitung der inneren Funktion vergessen, richtig wäre:
[mm] $\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b-\int_a^b g(x)\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}g'(x)$
[/mm]
Das sollte dir weiterhelfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Fr 08.08.2008 | | Autor: | abakus |
> > So, nun muss ich es integrieren, ich möchte es mit der
> > partiellen Integration machen, krieg aber irgendwie nicht
> > hin.
> > Ich habe für u= [mm]\wurzel{g(x)}[/mm] und v' = g'(x) genommen.
> > Dann habe ich das hier stehen:
> > [mm]\wurzel{g(x)}[/mm] * g(x) - [mm]\integral_{a}^{b}{g(x)* \bruch{1}{2} \bruch{1}{\wurzel{g(x)}} dx}[/mm]
>
> Der Integrad stimmt nicht, du hast beim Ableiten von
> [mm]\sqrt{g(x)}[/mm] die Ableitung der inneren Funktion vergessen,
> richtig wäre:
> [mm]\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b-\int_a^b g(x)\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}g'(x)[/mm]
>
> Das sollte dir weiterhelfen.
...und sicher hast du auch gesehen, dass [mm] g(x)*\frac{1}{\sqrt{g(x)}}=\sqrt{g(x)}...
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Gut, danke ihr habt Recht, das habe ich vergessen)))
Aber dann habe ich doch im Integral wieder das gleiche wie am Anfang stehen, fast. hab dann noch 0.5 davor, die kann ich natürlich auch vor der Integralfunktion setzen. Dann habe ich wieder das gleiche wie am Anfang, nämlich die Wurzel und die erste Ableitung. Dann bin ich ja überhaupt nicht weiter gekommen damit. :(
Wie gehts denn weiter?
Danke
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Fr 08.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b-
[/mm]
[mm] \red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}
[/mm]
Jetzt addiere mal das Rote Integral auf beiden Seiten.
Also:
[mm] 2*\red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b
[/mm]
[mm] \gdw \int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx=\bruch{1}{2}*\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b
[/mm]
(Dieser Trick taucht übrigens öfter mal auf)
Also:
[mm] \green{1}=\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}[\wurzel{g(b)}*g(b)-(\wurzel{g(a)}*g(a))]
[/mm]
Mit [mm] g(b)=\wurzel[3]{4}*g(a):
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[\wurzel{\wurzel[3]{4}*g(a)}*\wurzel[3]{4}*g(a)-(\wurzel{g(a)}*g(a))]
[/mm]
Also bleibt am Ende eine Gleichung übrig, nämlich
[mm] 1=\bruch{1}{2}\left[\wurzel{\wurzel[3]{4}*g(a)}*\wurzel[3]{4}*g(a)-\left(\wurzel{g(a)}*g(a)\right)\right]
[/mm]
Und daraus kannst du dann g(a) bestimmen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Ach ja stimmt, so etwas ähnliches hatte ich schon mal. :)
Vielen vielen Dank)))
MfG
sardelka
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Wenn jemand zufällig Interesse an dieser Aufgabe hat und diese gerne lösen möchte, mit diesem würde ich gerne meine Antwort vergleichen)))
Ich habe für g(a) [mm] \approx [/mm] 1,31 und für g(b) [mm] \approx [/mm] 2,08
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Fr 08.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du [mm] \wurzel{x}*x=(x)^{\bruch{3}{2}} [/mm] schreibst, wird:
$ [mm] =\bruch{1}{2}[\wurzel{g(b)}\cdot{}g(b)-(\wurzel{g(a)}\cdot{}g(a))] [/mm] $
zu:
[mm] 2=(g(b))^{\bruch{3}{2}}-(g(a))^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Mit [mm] g(b)=\wurzel[3]{4}*g(a):
[/mm]
[mm] 2=(\wurzel[3]{4}*g(a))^{\bruch{3}{2}}-(g(a))^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Zur Vereinfachung mal g(a)=z
Also:
[mm] 2=(\wurzel[3]{4}*z)^{\bruch{3}{2}}-(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=((\wurzel[3]{4})^{\bruch{3}{2}}*(z)^{\bruch{3}{2}})-(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=(4^{\bruch{1}{3}})^{\bruch{3}{2}}*(z)^{\bruch{3}{2}})-(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=(4^{\bruch{1}{3}*\bruch{3}{2}}*(z)^{\bruch{3}{2}})-(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=(4^{\bruch{1}{2}}*(z)^{\bruch{3}{2}})-(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=\wurzel{4}*(z)^{\bruch{3}{2}}-(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=(2-1)*(z)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=z^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw 2=\wurzel[2]{z³}
[/mm]
[mm] \gdw 4=z^{3}
[/mm]
[mm] \gdw z=\wurzel[3]{4}\approx1,58
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 20.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Ich habe es zwar alles verstanden und auch das, was danach noch alles mitgeteilt wurde, aber in dieser Vorrechnung ist doch ein Fehler.
Denn hier steht:
$ [mm] \red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b- [/mm] $
$ [mm] \red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx} [/mm] $
Dabei muss dort das stehen:
$ [mm] \red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b- [/mm] 0.5 * $
$ [mm] \red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx} [/mm] $
Die 0.5 wurde doch vergessen vor dem Integral, oder?
Die steht nämlich noch in der Mitteilung davor und ich habe auch die 0.5 dort stehen.
Dann kommt ja auch anderes Ergebnis raus...
Oder wird die 0.5 irgendwie gekürzt?
Vielen Dank
MfG
sardelka
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> Ich habe es zwar alles verstanden und auch das, was danach
> noch alles mitgeteilt wurde, aber in dieser Vorrechnung ist
> doch ein Fehler.
> Denn hier steht:
> [mm]\red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b-[/mm]
>
> [mm]\red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}[/mm]
>
> Dabei muss dort das stehen:
> [mm]\red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}=\left[\sqrt{g(x)}\cdot g(x)\right]_a^b- 0.5 *[/mm]
>
> [mm]\red{\int_a^bg'(x)\sqrt{g(x)}dx}[/mm]
>
> Die 0.5 wurde doch vergessen vor dem Integral, oder?
> Die steht nämlich noch in der Mitteilung davor und ich
> habe auch die 0.5 dort stehen.
> Dann kommt ja auch anderes Ergebnis raus...
>
> Oder wird die 0.5 irgendwie gekürzt?
Hallo,
nein, das wurde, wie Du schon vermutest, schlicht und ergreigend vergessen.
Ich hätte das Integral übrigens nicht mit partieller Integration gelöst, sondern durch Raten (bzw. Substitution).
Es wird ja [mm] \wurzel{g(x)} [/mm] mit seiner inneren Ableitung g'(x) multipliziert, und wenn man die Kettenregel kennt, braucht man sich nur noch zu fragen, welche Funktion die Ableitung [mm] \wurzel{t} [/mm] hat.
das weiß "man", es ist [mm] z^{\bruch{3}{2}}, [/mm] und damit hat man eine Stammfunktion gefunden, nämlich [mm] G(x)=(g(x))^{\bruch{3}{2}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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