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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
| Aufgabe | Gegeben ist de Funktion f mit der Gleichung:
f(x)= 1/3x³+3x ; x>0 (unter dem "ist größer als 0" Zeichen ist noch ein Strich!)
Parallel zur y-Achse soll bei x= k eine Senkrechte gezogen werden.
Bestimme k so, dass die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse halbiert wird. |
Hallo!
Erst mal im Vorraus vielen Dank für eventuelle Hilfe. Normalerweise komme ich gut mit Integral und Differenzialrechnung klar, aber diese Aufgabe hat es sich. Ich habe es mir versucht es aufzuzeichnen und weiß in etwa was gemeint ist, aber ich habe leider überhaupt keinen Lösungsansatz wie ich k ausrechnen bzw. bestimmen soll. Meine einzige Idee war, dass x>0 vielleicht ein Minimum darstellen soll und ich damit irgendetwas anfangen soll und dass ich vielleicht noch von der Funktion die Stammfunktion oder die Ableitung bilden sollte. Aber das wars auch schon leider:(
MFG Easy
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Hallo Easy!
Ist die Funktion hier korrekt widergegeben? Denn diese Funktion schließt keine geschlossene Fläche mit der x-Achse ein.
Denn m.E. müsste diese Fläche (zwischen den Nullstellen der Funktion) zunächst berechnet werden nach:
$$A \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f(x) \ dx}$$
[/mm]
Dieser Werte müsste dann halbiert werden und mit $k_$ als Interationsgrenze ebenfalls aufgestellt werden:
[mm] $$\bruch{A}{2} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{k}{f(x) \ dx}$$
[/mm]
Hieraus dann $k_$ ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Oh nein! Es tut mir furchtbar leid, ich habe das minus übersehen. die Gleichung heißt f(x)= - 1/3x³ + 3x ..Sorry! Auch an Loddar, der sich der Aufgabe schon angenommen hat:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Ich habe bisher alles verstanden und weiß jetzt ansatzweise, wie ich vorgehen muss. Nur bei der Integralrechnung zur Berechnung der Fläche; dort habe ich ja kein x2 und x1, was ich einsetzen kann um beide gleichungen laut F(b)-F(a) voneinander abzuziehen. Was soll ich da denn einsetzen?
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Hallo Easy!
[mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind die beiden Nullstellen für $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ , die Du zunächst berechnen musst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Rechne ich die Nullstellen aus, in dem ich die Ausgangsgleichung (-1/3x³ etc) gleich 0 setze?
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Hallo Easy!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Also, ich habe das alles so weit hinbekommen:Ich habe von der Ausgangsgleichung die Stammfunktion -1/12xhoch4 + 3/2x² gebildet und im Integrl für x die Nullstellen eingesetzt. Aufgrund des minusses kommt jedoch bei der Fläche - 425,25 raus. Das teile ich dann durch 2 und löse nach k auf. Auch hier hab ich wieder die Stammfunktion gebildet und habe dann jedoch ja ein xhoch 4 und danach kann ich ja nicht auflösen. auch das minus verwirrt mich etwas.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo easy,
ein negativer Wert kann eigentlich nicht sein, die Nullstellen des Integranden liegen doch bei 0 und 3, in diesem Bereich ist der Integrand positiv und demzufolge auch die Fläche, für die ich 6,75 herausbekommen habe. Ich weiss nicht, was Du in was eingesetzt hast.
Probiere doch mal aus, damit weiterzurechnen.
Viel Spaß,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Also so hab ich meine Nullstellen ausgerechnet:
-1/3x³+3x=0 |:(-1/3)
x³-9x=0
x³-9x+ (4,5)²= 0+ 20,25
(x-4,5)²=20,25 | Wurzel
x-4,5= +/- 4,5 |+4,5
x1= 0
x2= 9
--- Dann habe ich 0 und 9 in den Integral eingesetzt und für x in die Stammfunktion von der Ausgleichfunktion -1/12xhoch4+ 3/2x². Dabei kam dieser negative Wert raus. Wie man auf 0 und 3 kommt weiß ich nicht..:(
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Hallo Easy!
Dein angewandtes Verfahren für die Nullstellenberechnung nennt sich "quadratische Ergänzung" und klappt daher auch nur bei quadratischen Gleichungen, jedoch nicht bei [mm] $x^{\red{3}}$ [/mm] .
Aber Du kommst hier weiter mit Ausklammern und 3. binomischer Formel:
$$0 \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}x^3+3x [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*x*\left(x^2-9\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*x*(x-3)*(x+3)$$
[/mm]
Wie lauten also nun die Nullstellen?
Für die Gleichung, die nach $k_$ aufgelöst werden soll, musst Du später substituieren $t \ := \ [mm] k^2$ [/mm] , damit Du wieder eine quadratische Gleichung erhältst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Ja ich hab alles rausbekommen:) Nun setze ich die hälfte der ausgerechneten Fläche 6.75 also 3,375 gleich der Stammfunktion und setze für x k ein. Leider weiß ich schon wieder nicht was Sie mit substitieren meinen und t=k²:(
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Hallo,
durch die Nullstellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] ist jetzt das Intervall bekannt. Im Intervall liegt an der Stelle x=k eine Parallele zur y-Achse (blau gezeichnet), die die Fläche halbiert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
die blaue Fläche ist gleich der grünen Fläche, das Gefühl sollte dir sagen k=1,6.......
setze also folgende Integrale gleich:
[mm] \integral_{0}^{k}{-\bruch{1}{3}x^{3}+3x dx}=\integral_{k}^{3}{-\bruch{1}{3}x^{3}+3x dx}
[/mm]
löse diese Intgrale, setze deine Grenzen ein, du erhälst eine Gleichung 4. Grades, die durch Substitution gelöst werden kann, du bekommst 4 Ergebnisse, beachte aber, 0<k<3, somit hast du dein k,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Easy!
Poste doch mal, wie weit Du konkret mit Deinen Rechnung kommst. Dann können wir auch genauer helfen und einspringen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Leider hat mich der Beitrag von Steffie21 völlig verwirrt: Ich bin immer noch dabei die Hälfte der Fläche mit der Stammfunktion gleichzusetzen (die ja 4.grades ist) und für x k einzusetzen. wie ich weiter machen soll, weiß ich nicht, und was substitieren ist auch nicht:(Da haperts nich gewaltig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 12.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch, dass die Fläche halbiert wird.
also rechnest du das integral 0 bis k aus , und das Integral k bis 3.
die beiden Ergebnisse müssen gleich sein.
Gleichungen vierten Grades kannst du im allgemeinen nicht lösen, aber wenn nur [mm] k^4,k^2 [/mm] und ne Zahl vorkommt, schreibst du [mm] k^2=z k^4=z^2 [/mm] - das nennt man auch substituieren- und hast dann ne quadratische Gleichung für z. Die löst du , hast z1 und z2 und dann [mm] k^2=z1 k=\pm\wurzel{z1} [/mm] ebenso mit z2.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo easy2, signalisiere uns mal, ob du meine Zeichnung verstanden hast, weil du "verwirrt" bist, was verstehst du nicht, wir sollten erst die Zeichnung klären, dann rechnen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Gut danke, nun weiß ich denk ich alles! Ich habe nur noch eine Frage. die Integrale die ich gleichsetze, nehm ich dort die ausgangsgleichung -1/2x³ etc oder davon die Stammfunktion - 1/12xhoch4 etc. dort setz ich dann ja für x dann ja auch ein.
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Hallo,
die Skizze hast du also verstanden, du nimmst natürlich die Stammfunktion [mm] -\bruch{1}{12}x^{4}+\bruch{3}{2}x^{2}, [/mm] setze jetzt deine Grenzen ein, fasse zusammnen,
gleich noch der Hinweis zur Substitution: [mm] z=x^{2}, [/mm] d. h. wo [mm] x^{4} [/mm] steht schreibst du [mm] z^{2} [/mm] und wo [mm] x^{2} [/mm] steht schreibst du z, somit hast du eine quadratische Gleichung in z, die kannst du mit der p-q-Formel knacken,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Also, ich habe nun für z1= -2,637 und für z2= -15,353 heraus. habe es mittels der quadratischen ergänzung ausgerechnet. Wie forme ic denn jetzt die z's wieder um?
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Hallo,
fast [mm] z_1=15,353 [/mm] und [mm] z_2=2,637, [/mm] dir ist ein Vorzeichenfehler unterlaufen, jetzt machen wir Rücksubstitution, zeige ich es dir für [mm] z_1, [/mm] wir hatten ja vorhin gesagt,
[mm] x^{2}=z
[/mm]
[mm] x^{2}=15,353 [/mm] somit erhälst du
[mm] x_1=3,9183
[/mm]
[mm] x_2=-3,9183
[/mm]
jetzt
[mm] x^{2}=2,637 [/mm] somit erhälst du
[mm] x_3= [/mm] ...
[mm] x_4= [/mm] ...
also 4 Ergebnisse, schau jetzt, für welches Ergebnis trifft 0<k<3 zu, das war ja dein Inztervall, dann schau dir noch einmal meine Zeichnung an, viel Erfolg für die letzten Schritte,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Danke! Nun hab ich alles richtig!Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Glückwunsch!!
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![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]"){kind=small}
wie mir.
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