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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Sa 11.03.2006 | | Autor: | mana |
| Aufgabe | | [mm] \integral \bruch{1}{sin x}dx [/mm] |
wir haben gerade eine Diskussion zwischen Bruder und Schwester: wessen Lösung ist denn richtig?
meine Lösung:
sin 2x=2 sinx cos x
sin x= sin x/2 cosx/2
x/2= z
[mm] \integral \bruch{1}{sinz cosz}dz
[/mm]
mit cos z erweitern
[mm] \integral \bruch{cosz}{sinz (cosz)^2}dx
[/mm]
u=tan z u´ [mm] =1/(cosz)^2
[/mm]
dx=(cosz)^2du
[mm] \integral \bruch{1}{u (cosz)^2}*(cosz)^2du
[/mm]
ln |tan(z)|+c= ln |tan (x/2)|+c
Die Lösung meines Bruders:
erweitern mit sin x/sin x
[mm] \integral \bruch{sin x}{sin^2x}dx=
[/mm]
[mm] \integral \bruch{sinx}{1-cos^2x}dx=
[/mm]
Substitution: cos(x) =u
u´= -sin(x)
dx= [mm] \bruch{1}{-sin x}du
[/mm]
[mm] \integral \bruch{sin x}{1-u^2} \bruch{1}{-sin x}du
[/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{u^2-1}du
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch {1}{u^2-1}= \bruch{A}{u+1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{u-1}
[/mm]
A=1/2
B=1/2
=-1/2 ln |u+1| + 1/2 ln |u-1|+c
welche Lösung ist nun richtig??? hoffe beides
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Beides ist richtig. Bei deiner eigenen Herleitung fehlt allerdings in einer Zeile einmal ein Faktor 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Sa 11.03.2006 | | Autor: | mana |
hallo,
nach Leopold sind beide Lösungen richtig, aber wenn ich ein Wert für x in beide Lösungen eingebe, kommt nicht das gleiche raus, außerdem kann man bei der 2. Lösung überhaupt keinen Wert eingeben, weil ln von negative Zahlen nicht gibt.
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Da braucht auch nicht dasselbe herauszukommen, denn Stammfunktionen dürfen sich um eine additive Konstante unterscheiden, was du wohl mit dem [mm]+c[/mm] zum Ausdruck bringen willst. Aber ich glaube, hier kommt sogar dasselbe heraus. Beachte die Betragsstriche. Und natürlich sind alle Rücksubstitutionen durchzuführen.
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