Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \integral_ [/mm] ( [mm] e^x [/mm] )/ [mm] (\wurzel{1+e hoch (2x)} [/mm] dx
= arsin h [mm] (e^x)
[/mm]
Typ g'(x)* h'(g(x))= d/dx [h(g(x))]
[mm] G(x)=e^x [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand bitte erklären wie man hier auf das Ergebnis kommt und welche Verallgemeinerung man hier machen kann? Ich habe das nicht verstanden, vor allem den Teil mit der e-Funktion nicht.
Ps: in der Aufgabenstellung muss 2x im Exponenten stehen, jedoch funktionierte es nicht, obwohl ich da dieses Zeichen eingesetzt habe ^.
Freundliche Grüße
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
es steht doch eigentlich alles schon da?
> [mm]\integral_[/mm] ( [mm]e^x[/mm] )/ [mm](\wurzel{1+e hoch (2x)}[/mm] dx
> = arsin h [mm](e^x)[/mm]
Hier fehlt noch eine Integrationskonstante. Hübscher geschrieben:
[mm] \int\bruch{e^x}{\wurzel{1+e^{2x}}}\;\mathrm{dx}=\function{arsinh}{(e^x)}\blue{+C}
[/mm]
Klick mal auf die Darstellung.
> Typ g'(x)* h'(g(x))= d/dx [h(g(x))]
Ja, das ist die Kettenregel der Differentiation. Die kann man halt auch umkehren.
> [mm]G(x)=e^x[/mm]
Du meinst [mm] g(x)=e^x; h(g)=\function{arsinh}{(g)}.
[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir jemand bitte erklären wie man hier auf das
> Ergebnis kommt
Na, so wie beschrieben: durch Umkehrung der Kettenregel.
Du kannst hier aber auch z.B. [mm] u=e^x [/mm] substituieren und erhältst
[mm] \int{\bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}\;\mathrm{du}}
[/mm]
Wenn man das Integral nicht im Kopf hat, gehts zwar immer noch zu lösen, aber man verzettelt sich leicht dabei. Besser ist, solche Grundversionen mal auswendig zu lernen. Ansonsten hilft es natürlich immer, nachzuschlagen...
> und welche Verallgemeinerung man hier machen
> kann? Ich habe das nicht verstanden, vor allem den Teil mit
> der e-Funktion nicht.
Jetzt besser?
> Ps: in der Aufgabenstellung muss 2x im Exponenten stehen,
> jedoch funktionierte es nicht, obwohl ich da dieses Zeichen
> eingesetzt habe ^.
Unser Formelsatz funktioniert im Prinzip wie [mm] \LaTeX. [/mm] Um Exponenten, die länger sind als ein einzelnes Zeichen, müssen geschweifte Klammern. Dann klappts.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo,
das mit der Kettenregel habe ich verstanden. Aber für welche Art von Integralen ist das Ganze anwendbar? Also, ich kann das noch nicht ganz verallgemeinern.
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> das mit der Kettenregel habe ich verstanden. Aber für
> welche Art von Integralen ist das Ganze anwendbar? Also,
> ich kann das noch nicht ganz verallgemeinern.
Na, für solche, wo eben sowas steht wie "äußere Ableitung mal innere Ableitung".
Z.B. so: [mm] \int{\br{3x^2-2x+1}{\wurzel{x^3-x^2+x+5}}\;\mathrm{dx}}=?
[/mm]
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
Hmm, jetzt bin ich ganz durcheinander. Keine Ahnung was da rauskommt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hmm, jetzt bin ich ganz durcheinander. Keine Ahnung was da
> rauskommt.
Im Zähler steht die Ableitungen des Wurzelradikanden im Nenner. Also [mm] \bruch{\text{Ableitung von Gedöns}}{\text{Wurzel von Gedöns}}.
[/mm]
Also ergibt das Integral davon: [mm] 2*\wurzel{\text{Gedöns}}+C
[/mm]
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Verstehe... Aber noch einmal zu meiner Aufgabe, wieso ist denn \wurzel{1+e^(2x) = arsinh? Also, ich habe dort den Zusammenhang nicht verstanden.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Verstehe... Aber noch einmal zu meiner Aufgabe, wieso ist
> denn [mm] \wurzel{1+e^{2x}} [/mm] = arsinh?
Ist es nicht.
> Also, ich habe dort den
> Zusammenhang nicht verstanden.
[mm] \int{\br{1}{\wurzel{1+u^2}}\;\mathrm{du}}=\function{arsinh}{(u)}+C
[/mm]
Das ist auch schon alles. Jetzt musst Du halt nur noch Dein [mm] e^x [/mm] dahineinbasteln. Wies geht, stand schon in der Aufgabe.
Grüße
reverend
|
|
|
|
