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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Integralkurve: Benötigte Zeit
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Integralkurve: Benötigte Zeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:35 Fr 15.11.2013
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Gegegeben sei das Vektorfeld

[mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{y \\ -x}[/mm]

deren Integralkurven konzentrische Kreise sind.

Wie lässt sich die für einen Umlauf benötigte Zeit in Abhängigkeit vom Radius beschreiben?



Hallo zusammen,

meine Ideen zur Aufgabe:

Eine Integralkurve zu diesem Vektorfeld ist
[mm]t \mapsto \vektor{cos(t) \\ -sin(t)}[/mm]

Eingezeichnet in das Vektorfeld ergibt sich folgende Grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Die Pfeile sind hier zur besseren Darstellung alle gleich lang.)

Nun ist also die für einen Umlauf benötigte Zeit t in Abhängigkeit von einem Radius r gesucht. Da die Kurven Kreise darstellen, erstreckt sich t doch aber ohnehin immer von 0 bis [mm]2\pi[/mm], oder? Die benötigte Zeit t ist demnach also nicht von einem Radius r abhängig. Allerdings sagt schon die Intuition, dass man für eine längere Strecke mehr Zeit braucht als für eine kürzere Strecke.

Wo liegt mein Fehler?

​Viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Integralkurve: Benötigte Zeit: unvollständige Aufgabe !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Fr 15.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Gegegeben sei das Vektorfeld
>  
> [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{y \\ -x}[/mm]
>  
> deren Integralkurven konzentrische Kreise sind.
>  
> Wie lässt sich die für einen Umlauf benötigte Zeit in
> Abhängigkeit vom Radius beschreiben?      [kopfschuettel]   [haee]   [kopfschuettel]
>  
>
> Hallo zusammen,
>  
> meine Ideen zur Aufgabe:
>  
> Eine Integralkurve zu diesem Vektorfeld ist
>  [mm]t \mapsto \vektor{cos(t) \\ -sin(t)}[/mm]
>  
> Eingezeichnet in das Vektorfeld ergibt sich folgende
> Grafik:
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  (Die Pfeile sind hier zur besseren Darstellung alle gleich
> lang.)
>  
> Nun ist also die für einen Umlauf benötigte Zeit t in
> Abhängigkeit von einem Radius r gesucht. Da die Kurven
> Kreise darstellen, erstreckt sich t doch aber ohnehin immer
> von 0 bis [mm]2\pi[/mm], oder? Die benötigte Zeit t ist demnach
> also nicht von einem Radius r abhängig. Allerdings sagt
> schon die Intuition, dass man für eine längere Strecke
> mehr Zeit braucht als für eine kürzere Strecke.
>  
> Wo liegt mein Fehler?
>  
> ​Viele Grüße


Hallo Apfelchips,

da in der Aufgabenstellung null und nichts
über irgendeinen zeitlichen Vorgang bzw. über
Geschwindigkeiten gegeben ist, kann man
daraus auch bestimmt keine Umlaufzeiten
berechnen.

Gib also zunächst einmal eine wirklich vollständige
Aufgabenstellung an.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Integralkurve: Benötigte Zeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Fr 15.11.2013
Autor: Apfelchips

Hallo,

danke für Deine Antwort.

> da in der Aufgabenstellung null und nichts
> über irgendeinen zeitlichen Vorgang bzw. über
> Geschwindigkeiten gegeben ist, kann man
> daraus auch bestimmt keine Umlaufzeiten
> berechnen.

>
> Gib also zunächst einmal eine wirklich vollständige
> Aufgabenstellung an.

Tatsächlich ist das die vollständige Aufgabenstellung.
​
Aber lässt sich bei der Integralkurve durch die Wahl eines passenden Intervalls für t nicht ein zeitlicher Vorgang darstellen?
Bezug
                        
Bezug
Integralkurve: Benötigte Zeit: reklamieren !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Sa 16.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> danke für Deine Antwort.
>  
> > da in der Aufgabenstellung null und nichts
> > über irgendeinen zeitlichen Vorgang bzw. über
> > Geschwindigkeiten gegeben ist, kann man
> > daraus auch bestimmt keine Umlaufzeiten
> > berechnen.

> > Gib also zunächst einmal eine wirklich vollständige
> > Aufgabenstellung an.


> Tatsächlich ist das die vollständige Aufgabenstellung.


Dann wäre es richtig, beim Aufgabensteller zu reklamieren
bzw. genau die Antwort zu geben, die ich schon gegeben
habe !

​
>  Aber lässt sich bei der Integralkurve durch die Wahl
> eines passenden Intervalls für t nicht ein zeitlicher
> Vorgang darstellen?

Ich kann mir vorstellen, was möglicherweise hätte
gemeint sein können, nämlich dass das Vektorfeld
ein Geschwindigkeitsfeld darstellen soll. Genauer:
da sollte wohl eine Differentialgleichung stehen,
nämlich:

          [mm] $\pmat{\dot{x}(t)\\ \dot{y}(t) }\ [/mm] =\ [mm] \pmat{{y}(t)\\ -x(t) }$ [/mm]

In diesem Fall kann man dann für die geschlossenen
Bahnkurven der Lösungsschar nach der Umlaufzeit
fragen.
So wie ich sehe, sollte die Umlaufzeit (falls wirklich
das gemeint war, was ich gerade beschrieben habe)
unabhängig vom Radius sein.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
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