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Integralkonvergenz: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Mo 27.01.2014
Autor: capri

Aufgabe
Untersuchen Sie die Integrale auf Konvergenz.

[mm] \integral_{0}^{2} \bruch{1}{\wurzel{x^2-4x+4}} [/mm] dx

(ps: soll dritte wurzel von heißen, habe es nicht auf die Reihe bekommen)

Hallo,

aus [mm] x^2-4x+4 [/mm] wird [mm] (x-2)^2 [/mm] und ich erhalte:

[mm] \integral_{0}^{2} \bruch{1}{\wurzel{(x-2)^2}} [/mm] dx

nun komme ich schon nicht weiter kann ich das irgendwie umformen?

LG
        
Bezug
Integralkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Untersuchen Sie die Integrale auf Konvergenz.
>  
> [mm]\integral_{0}^{2} \bruch{1}{\wurzel{x^2-4x+4}}[/mm] dx
>  
> (ps: soll dritte wurzel von heißen, habe es nicht auf die
> Reihe bekommen)
>  Hallo,
>  
> aus [mm]x^2-4x+4[/mm] wird [mm](x-2)^2[/mm] und ich erhalte:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2} \bruch{1}{\wurzel{(x-2)^2}}[/mm] dx
>  
> nun komme ich schon nicht weiter kann ich das irgendwie
> umformen?

Es gilt:

      [mm] \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} [/mm]

      [mm] \frac{1}{x}=x^{-1} [/mm]


Gruß
DieAcht
Bezug
        
Bezug
Integralkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 27.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Untersuchen Sie die Integrale auf Konvergenz.

>
> [mm]\integral_{0}^{2} \bruch{1}{\wurzel{x^2-4x+4}}[/mm] dx

>
> (ps: soll dritte wurzel von heißen, habe es nicht auf die
> Reihe bekommen)
> Hallo,

>
> aus [mm]x^2-4x+4[/mm] wird [mm](x-2)^2[/mm] und ich erhalte:

>
> [mm]\integral_{0}^{2} \bruch{1}{\wurzel{(x-2)^2}}[/mm] dx

>
> nun komme ich schon nicht weiter kann ich das irgendwie
> umformen?

Das kann man durch eine einfache Substitution berechnen, wenn man bedenkt, dass

[mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{(x-2)^2}}=(x-2)^{-2/3} [/mm]

ist. Sprich; vermittlest der Intergationsregel für Potenzfunktionen kommt man hier zum Ziel, ohne das man irgendwelche Grenzwerte ermitteln muss.

Gruß, Diophant
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Integralkonvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mo 27.01.2014
Autor: capri

Hallo,

ich habe nun:

[mm] (x-2)^{-\bruch{2}{3}} [/mm]  =

[mm] -3(x-2)^{-\bruch{1}{3}} [/mm]

könnte ich mit minus einmal mal nehmen sodass ich [mm] 3\wurzel{x-2} [/mm] (dritte Wurzel) habe? und dann einfach die Grenzen einsetzen, dann sehe ich, dass da eine reelle Zahl rauskommt und damit habe ich die Konvergenz gezeigt?
Bezug
                        
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Integralkonvergenz: mathematisches Verbrechen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 27.01.2014
Autor: Loddar

Hallo capri!


> ich habe nun:
>
> [mm](x-2)^{-\bruch{2}{3}}[/mm] =
>
> [mm]-3(x-2)^{-\bruch{1}{3}}[/mm]

Du scheinst im Ansatz das Richtige zu meinen. Aber der obere Term wird nur in den allerseltensten Fällen gleich dem unteren Term sein.

Es muss heißen:

[mm] $\integral{(x-2)^{-\bruch{2}{3}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -3*(x-2)^{... \ \bruch{1}{3}}$ [/mm]

(Auf die Integrationskonstante verzichte ich hier mal.)

Jedenfalls solltest Du nochmals über das Vorzeichen im Exponenten der Stammfunktion nachdenken.


> könnte ich mit minus einmal mal nehmen sodass ich
> [mm]3\wurzel{x-2}[/mm] (dritte Wurzel) habe?

[eek] Nein, auf gar keinen Fall. [notok] [notok] [notok]
Das ist mathematisches Schwerverbrechen. Mir bluten gerade die Augen und andere wichtige Organe.


> und dann einfach die
> Grenzen einsetzen, dann sehe ich, dass da eine reelle Zahl
> rauskommt und damit habe ich die Konvergenz gezeigt?

Das kann man so schnell mal aussprechen.
Aber mathematisch korrekt solltest Du doch eine entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen.


Gruß
Loddar
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Integralkonvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Mo 27.01.2014
Autor: capri

habe meine fehler gesehen dankee :)
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