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| Aufgabe | Funktion f(x) = [mm] x^{-2} [/mm] * [mm] e^{\bruch{-1}{x}}
[/mm]
Die Integralfunktion J ist definiert durch J(x) = [mm] \integral_{0,5}^{x}{f(t) dt} [/mm] für x > 0
a) Begründe ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von J, weshalb folgende Aussagen zutreffen.
J ist streng monoton steigend, J besitzt genau eine Nullstelle und der Graph von J hat genau einen Wendepunkt.
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Wie lässt sich dies ohne Berechnung begründen? Wie geht ihr an eine solche Aufgabe heran. Betrachtet ihr hierbei nur f(x) und den Graphen f oder geht ihr anders an eine solche Aufgabe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 So 26.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Funktion f(x) = [mm]x^{-2}[/mm] * [mm]e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
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> Die Integralfunktion J ist definiert durch J(x) =
> [mm]\integral_{0,5}^{x}{f(t) dt}[/mm] für x > 0
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> a) Begründe ohne Berechnung der integralfreien Darstellung
> von J, weshalb folgende Aussagen zutreffen.
> J ist streng monoton steigend, J besitzt genau eine
> Nullstelle und der Graph von J hat genau einen Wendepunkt.
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> Wie lässt sich dies ohne Berechnung begründen? Wie geht ihr
> an eine solche Aufgabe heran. Betrachtet ihr hierbei nur
> f(x) und den Graphen f oder geht ihr anders an eine solche
> Aufgabe?
Alle Funktionswerte von t sind positiv. Mit wachsender oberer Grenze x kommt also ein "positives" Flächenstück dazu. Also ist die Integralfunktion monoton wachsend.
Der Flächeninhalt von 0,5 bis 0,5 ist Null (also hat die Integralfunktion eine Nullstelle (und warum ist es genau eine ...?).
Sollte J(x) genau einen Wendepunkt haben, so müsste es eine Stelle mit maximalem Flächenzuwachs geben (bis zu dieser Stelle müsste f(t) wachsen und ab dieser Stelle müsste f(t) fallen.
Gruß Abakus
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Hallo,
je nachdem, wie weit Eure Kenntnisse gediehen sind, könntest Du in die Überlegungen miteinbeziehen, daß Du J'(x) kennst.
Gruß v. Angela
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