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| Aufgabe | 1) Berechnen Sie die Integrale:
a) [mm] \integral_{}^{}{x^2ln(x) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{\pi/2}^{-\pi/2}{(sin(x))^{1027} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{1}^{-1}{\wurzel{e^x} dx} [/mm] |
Hallo,
bin mir nicht so ganz sicher mit dem Berechnen der Integragle.
Also, habe bei a):
[mm] =x^2\integral_{}^{}{ln(x) dx}=x^2
[/mm]
zu b): die 1027 soll im Exponenten stehen, hat nur grad mit dem Formeleditor nicht geklappt. bei b) habe ich:
[mm] =(-1/1028)*cos(\pi/2)^{1028}-((-1/1028)*cos(-\pi/2))^{1028}
[/mm]
da war ich mir echt überhaupt nicht so sicher.. oder kann man davon gar keine Stammfunktion bestimmen?
bei c) habe ich:
=e^(1/2)-e^(-1/2)
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte, falls ich was falsch haben sollte... ; )
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 22.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Du darfst hier nicht einfach die Variable [mm] $x^2$ [/mm] vor das Integral ziehen.
Wende das Verfahren der partiellen Integration an mit $u' \ := \ [mm] x^2$ [/mm] sowie $v \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo,
ok, und dann habe ich:
[mm] (1/3)x^3*ln(x)-\integral_{}^{}{(1/3)x^3*(1/x) dx}
[/mm]
[mm] =(1/3)x^3*ln(x)-\integral_{}^{}{(1/3)x^2 dx}
[/mm]
[mm] =(1/3)*x^3*ln(x)-(1/9)x^3 [/mm] = [mm] (2/9)x^3*ln(x)
[/mm]
Ist das wohl richtig, oder kann man das so nicht zusammenfassen?
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 22.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Bis auf den letzten Schritt ist alles richtig!
Du hast es bereits geahnt: hier kann man nicht weiter zusammenfassen (außer vielleicht [mm] $x^3$ [/mm] ausklammern).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 22.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Hier kann man ohne großen Aufwand keine Stammfunktion ermitteln.
Aber die Lösung des bestimmten Integrals lässt sich schnell ermitteln über die Punktsymmetrie der Integrandenfunktion. Damit sollte schnell klar sein, dass der Wert des bestimmten Integrals "ziemlich klein" ist. 
Tipp: Skizze machen ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 22.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Du hast richtig umgeformt mit [mm] $\wurzel{e^x} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x}$ [/mm] .
Aber Deine Stammfunktion stimmt nicht, da Du beim Integrieren den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] im Exponenten ignoriert hast.
Gruß
Loddar
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Hallo,
ok. Ist das Integral also so richtig berechnet:
[mm] =\integral_{1}^{-1}{e^((1/2)x) dx} [/mm] = (2/3)e^(3/2) - 2e^((1/2)*(-1))
= (2/3)e^(3/2)-2e^(-1/2)
Viele Grüße,
Anna
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Hallo crazyhuts1,
> Hallo,
> ok. Ist das Integral also so richtig berechnet:
>
> [mm]=\integral_{1}^{-1}{e^((1/2)x) dx}[/mm] = (2/3)e^(3/2) - 2e^((1/2)*(-1)) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das passt nicht, die e-Funktion wird ja nicht so abgeleitet wie Potenzen von x, also [mm] $x^{\alpha}$
[/mm]
Wenn du den Ausdruck [mm] $e^{c\cdot{}x}$ [/mm] ableitest, so kommt doch [mm] $c\cdot{}e^{c\xdot{}x}$ [/mm] dabei heraus. Der Exponent bleibt also erhalten.
Dann bleibt bei der Ableitung von [mm] $e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$ [/mm] auch der Exponent erhalten, das ist dann [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$
[/mm]
Du hättest also gerne eine Stammfunktion von [mm] $e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$
[/mm]
Diese müsste abgeleitet wieder [mm] $e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$ [/mm] ergeben, sie muss aber auch als Teil [mm] $e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$ [/mm] enthalten, bastel dir also entsprechend einen Vorfaktor c für die Stammfunktion, so dass die Ableitung gerade [mm] $e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$ [/mm] ergibt.
Also [mm] $\left[c\cdot{}e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}\right]'=e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$
[/mm]
>
> = (2/3)e^(3/2)-2e^(-1/2)
>
> Viele Grüße,
> Anna
Wenn du die Integration durch Substitution schon kennst, kannst du eine Stammfunktion von [mm] $e^{\frac{1}{2}\cdot{}x}$ [/mm] auch systematisch bestimmen durch die Substitution [mm] $u(x):=\frac{1}{2}x$ [/mm] usw.
LG
schachuzipus
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