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Integrale: Patialbruchzerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mo 18.07.2005
Autor: asuka

Hallo zusammen!

Ich hab ein Problem mit dem Integral:

[mm] \int_{}^{}\bruch{x^{4}+2x^{3}+10x^{2}+19x+5}{(x+1)(x²+9)} \, [/mm] dx

Ich würde jetzt über die Partialbruchzerlegung gehen. Dazu hab ich zuerstmal Polynomdivision angewendet, weil oben [mm] x^{4} [/mm] und unten nur [mm] x^{3} [/mm]

Die Polynomdivision sieht dann bei mir so aus:

[mm] x^{4}+2x^{3}+10x^{2}+19x+5 [/mm] /  [mm] x^{3}+x²+9x+9=x [/mm]
[mm] x^{4}+ x^{3}+ 9x^{2}+ [/mm]  9x  
    [mm] x^{3}+ x^{2} [/mm] +10x+5  


Daraus ergib sich der neue Bruch:
[mm] \bruch{x^{3}+x^{2}+10x+5}{(x+1)(x²+9)} [/mm]

den ich wie folgt zerlegen würde:

[mm] \bruch{A}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{Bx + C}{(x²+9)} [/mm]

Damit stell ich dann eine Matrix auf die so aussieht:

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 | 1\\ 1 & 1 & 0 | 1\\ 0 & 1 & 1 | 10\\ 9 & 0 & 1 | 5\\ } [/mm]

Hab jetzt schon einpaarmal versucht diese aufzulösen aber irgendwie klappt das nicht. Also bin ich ziemlich sicher das ich irgendwo eine Fehler hab. Also entweder ist der ganze weg Falsch oder die Polynomdivision oder die Zerlegung.

Kann mir da jemand helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Mfg Asuka
        
Bezug
Integrale: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 18.07.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Asuka,

[willkommenmr] !!


Ich habe jetzt Deinen Rechenweg nicht im einzelnen nachkontrolliert.


Aber auf jeden Fall mußt Du die MBPolynomdivision noch einen Schritt weiter führen, bis Dein Zählergrad echt kleiner ist als Dein Nennergrad!

Bei Deiner Rechnung sind Zähler- und Nennergrad noch gleich mit 3.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Integrale: Polynomdivision weitergeführt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mo 18.07.2005
Autor: asuka

Okay wenn ich die Polynomdivision weiterführe komm ich auf

[mm] x^{4}+2x^{3}+10x^{2}+19x+5 [/mm] / [mm] x^{3}+x^{2}+9x+9 [/mm] = x+1
[mm] x^{4}+ x^{3}+ 9x^{2}+ [/mm] 9x
  [mm] x^{3}+ x^{2}+ [/mm] 10x+5
  [mm] x^{3}+ x^{2}+ [/mm]  9x+9
           x-4  

daraus würde sich dann als neuen bruch folgendes ergeben:

[mm] \bruch{x-4}{(x+1)(x²+9)} [/mm]

welchen ich folgendermaßen zerlegen würde:

[mm] \bruch{A}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(Bx+C)}{(x²+9)} [/mm]

aus dem diese matrix entsteht:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 1 & 1 | 1 \\ 9 & 0 & 1 | -4 \\} [/mm]

Bin ich soweit richtig oder ist hier was falsch. hab jetzt noch nicht probiert die matrix zu lösen, aber ich finde das sieht schon besser aus :)


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Bezug
Integrale: Gut so!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mo 18.07.2005
Autor: Roadrunner

Hallo asuka!


> [mm]x^{4}+2x^{3}+10x^{2}+19x+5[/mm] / [mm]x^{3}+x^{2}+9x+9[/mm] = x+1
>  [mm]x^{4}+ x^{3}+ 9x^{2}+[/mm] 9x
>    [mm]x^{3}+ x^{2}+[/mm] 10x+5
>    [mm]x^{3}+ x^{2}+[/mm]  9x+9
>             x-4  

[daumenhoch]


> daraus würde sich dann als neuen bruch folgendes ergeben:
> [mm]\bruch{x-4}{(x+1)(x²+9)}[/mm]

[daumenhoch]

  
> welchen ich folgendermaßen zerlegen würde:
> [mm]\bruch{A}{(x+1)}[/mm] + [mm]\bruch{(Bx+C)}{(x²+9)}[/mm]

[daumenhoch]

  
> aus dem diese matrix entsteht:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 1 & 1 | 1 \\ 9 & 0 & 1 | -4 \\}[/mm]

[daumenhoch]


Und ... weiter geht's ... ;-)


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Integrale: Matrix aufgelöst und intgriert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Di 19.07.2005
Autor: asuka

also ich hab die matrix jetzt aufgelöst und bekomme für

[mm] A=\bruch{-4}{9} [/mm]
[mm] B=\bruch{4}{9} [/mm]
[mm] C=\bruch{4}{9} [/mm]

Das würde dann mit den integralen aus dem Rest von der Polynomdivision folgende integrale ergeben:

[mm] \integral_{}^{} [/mm] x dx +  [mm] \integral_{}^{} [/mm] 1 dx -  [mm] \integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}}{(x+1)} [/mm] dx +  [mm] \integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}x}{(x^{2}+9)} [/mm] dx +  [mm] \integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}}{(x^{2}+9)} [/mm] dx

bei den ersten drei hab ich kein problem sie zu integrieren aber die letzten zwei. Für die ersten drei komm ich auf:

[mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] + x - [mm] \bruch{4}{9} [/mm] ln(x+1)

Ich hab die letzen beiden mal versucht und komm dann auf folgendes:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}x}{(x^{2}+9)} [/mm] dx =

als formel hab ich benutzt:
  [mm] \integral_{}^{} \bruch{x}{ax^{2}+bx+c} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2a} ln(ax^{2}+bx+c) [/mm] -  [mm] \bruch{b}{2a} \integral_{}^{} \bruch{dx}{ax^{2}+bx+c} [/mm] dx

das ergibt dann bei mir:

[mm] \integral_{}^{} \bruch{x}{1x^{2}+0x+9} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2x^{2}} ln(x^{2}+0x+9) [/mm] -  [mm] \bruch{0}{2x^{2}} \integral_{}^{} \bruch{dx}{1x^{2}+0x+9} [/mm] dx



jetzt ist das durch die formel enstanden integral gleich mit dem letzten aus der aufgabe. Das würde ich mit folgender formel lösen:

[mm] \integral_{}^{} \bruch{dx}{x^{2}+px+q} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{\wurzel{q- \bruch{p^{2}}{4}}} [/mm] arctan [mm] \bruch{2x+p}{2\wurzel{q- \bruch{p^{2}}{4}}} [/mm]   falls [mm] q-\bruch{p^{2}}{4} [/mm]  > 0

die bedinguing ist erfüllt denn [mm] 9+\bruch{0^{2}}{4} [/mm] ergibt 9 und is somit größer 0

eingesetzt ergibt das dann:

[mm] \integral_{}^{} \bruch{1}{1x^{2}+0x+9} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{\wurzel{9- \bruch{0^{2}}{4}}} [/mm] arctan [mm] \bruch{2x+0}{2\wurzel{9- \bruch{0^{2}}{4}}}=\bruch{1}{3}arctan\bruch{2x}{6}=\bruch{1}{3}arctan \bruch{1}{3}x [/mm]

das heißt also komplettes Endergebnis würde ich folgendes haben:

[mm] \bruch{1}{2}x^{2}+x-\bruch{4}{9}ln(x+1)+\bruch{4}{9}[( \bruch{1}{2x^{2}}ln(x^{2}+0x+9)-\bruch{0}{2x^{2}})-(\bruch{1}{3}arctan \bruch{1}{3}x) [/mm]
[mm] )]+\bruch{4}{9}(\bruch{1}{3}arctan \bruch{1}{3}x) [/mm]

Ich traue meinen mathematischen Kenntnissen da nicht so ganz ist das richtig?

Mit freundlichen Grüßen asuka
Bezug
                                        
Bezug
Integrale: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Di 19.07.2005
Autor: Roadrunner

Hallo asuka!


> also ich hab die matrix jetzt aufgelöst und bekomme für
>  
> [mm]A=\bruch{-4}{9}[/mm]
> [mm]B=\bruch{4}{9}[/mm]
> [mm]C=\bruch{4}{9}[/mm]

[notok] Hier habe ich etwas anderes erhalten:

$A \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm]

$B \ = \ C \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm]


> Das würde dann mit den integralen aus dem Rest von der
> Polynomdivision folgende integrale ergeben:
>  
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] x dx +  [mm]\integral_{}^{}[/mm] 1 dx -   [mm]\integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}}{(x+1)}[/mm] dx +   [mm]\integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}x}{(x^{2}+9)}[/mm] dx + [mm]\integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}}{(x^{2}+9)}[/mm] dx

[ok] Nur halt mit den anderen Koeffizienten ...


  
> bei den ersten drei hab ich kein problem sie zu integrieren
> aber die letzten zwei. Für die ersten drei komm ich auf:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] + x - [mm]\bruch{4}{9}[/mm] ln(x+1)

[ok] Nur halt mit den anderen Koeffizienten ...



> Ich hab die letzen beiden mal versucht und komm dann auf
> folgendes:
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{\bruch{4}{9}x}{(x^{2}+9)}[/mm] dx =
>  
> als formel hab ich benutzt:
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x}{ax^{2}+bx+c}[/mm] dx = [mm]\bruch{1}{2a} ln(ax^{2}+bx+c)[/mm] -  [mm]\bruch{b}{2a} \integral_{}^{} \bruch{dx}{ax^{2}+bx+c}[/mm] dx
>  
> das ergibt dann bei mir:
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x}{1x^{2}+0x+9}[/mm] dx = [mm]\bruch{1}{2x^{2}} ln(x^{2}+0x+9)[/mm] -  [mm]\bruch{0}{2x^{2}} \integral_{}^{} \bruch{dx}{1x^{2}+0x+9}[/mm] dx

[notok] Für $a_$ nur den Zahlenwert einsetzen, nicht mit dem [mm] $\red{x^2}$ [/mm] !!


Es geht aber auch anders bzw. kürzer:

[mm] $\integral{\bruch{x}{x^2+9} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{x^2+9} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{2x}{x^2+9} \ dx}$ [/mm]

Nun hast Du einen Bruch, bei dem im Zähler die Ableitung des Nenners steht:

[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|f(x)\right| [/mm] + C$


Damit wird:  [mm] $\integral{\bruch{x}{x^2+9} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left|x^2+9\right| [/mm] + C$




> jetzt ist das durch die formel enstanden integral gleich
> mit dem letzten aus der aufgabe. Das würde ich mit
> folgender formel lösen:
>  
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{dx}{x^{2}+px+q}[/mm] dx = [mm]\bruch{1}{\wurzel{q- \bruch{p^{2}}{4}}}[/mm] arctan [mm]\bruch{2x+p}{2\wurzel{q- \bruch{p^{2}}{4}}}[/mm]   falls [mm]q-\bruch{p^{2}}{4}[/mm]  > 0
>  
> die bedinguing ist erfüllt denn [mm]9+\bruch{0^{2}}{4}[/mm] ergibt 9
> und is somit größer 0
>  
> eingesetzt ergibt das dann:
>  
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{1}{1x^{2}+0x+9}[/mm] dx = [mm]\bruch{1}{\wurzel{9- \bruch{0^{2}}{4}}}[/mm] arctan [mm]\bruch{2x+0}{2\wurzel{9- \bruch{0^{2}}{4}}}=\bruch{1}{3}arctan\bruch{2x}{6}=\bruch{1}{3}arctan \bruch{1}{3}x[/mm]

[daumenhoch]


  
> das heißt also komplettes Endergebnis würde ich folgendes
> haben:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}+x-\bruch{4}{9}ln(x+1)+\bruch{4}{9}[( \bruch{1}{2x^{2}}ln(x^{2}+0x+9)-\bruch{0}{2x^{2}})-(\bruch{1}{3}arctan \bruch{1}{3}x)[/mm]
>  
> [mm])]+\bruch{4}{9}(\bruch{1}{3}arctan \bruch{1}{3}x)[/mm]
>  
> Ich traue meinen mathematischen Kenntnissen da nicht so
> ganz ist das richtig?

[ok][notok] Du mußt halt meine o.g. Korrekturen noch einarbeiten.

Zudem kannst Du ja Summanden mit dem Faktor $0_$ auch einfach weglassen!



Wenn Du möchtest, kann man dieses Ergebnis "ganz leicht" ;-) überprüfen.

Bilde mal die Ableitung von Deiner Stammfunktion und fasse zusammen. Dann sollte nämlich Deine Ursprungsfunktion wider entstehen ...


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Integrale: auflösen der matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Di 19.07.2005
Autor: asuka

Wenn ich die Matrix auflöse von oben links nach rechts komme ich auf die [mm] \bruch{4}{9} [/mm] gehe ich aber von unten rechts nach links komme ich auch auf die [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Woher weiß ich denn von ich wo anfangen muss/soll?

und :

> Es geht aber auch anders bzw. kürzer:
>  
> [mm]\integral{\bruch{x}{x^2+9} \ dx} \ = \ \integral{\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{x^2+9} \ dx} \ = \ \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{2x}{x^2+9} \ dx}[/mm]
>  
> Nun hast Du einen Bruch, bei dem im Zähler die Ableitung
> des Nenners steht:
>  
> [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} \ = \ \ln\left|f(x)\right| + C[/mm]
>  
>
> Damit wird:  [mm]\integral{\bruch{x}{x^2+9} \ dx} \ = \ \bruch{1}{2}*\ln\left|x^2+9\right| + C[/mm]
>  

soweit so gut aber ich weiß nicht ganz wie die 2x auf den Bruch kommt?

mfg asuka

Bezug
                                                        
Bezug
Integrale: Bruch erweitert ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:18 Di 19.07.2005
Autor: Roadrunner

Hallo asuka!


> Woher weiß ich denn von ich wo anfangen muss/soll?

Das sollte aber egal sein!

Ich selber habe dieses Gleichungssystem auch über Einsetzungsverfahren gelöst ...



> soweit so gut aber ich weiß nicht ganz wie die 2x auf den
> Bruch kommt?

Ich habe den Bruch einfach erweitert (Darstellung hier gleich mit dem Koeffizienten [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ):

[mm]\bruch{1}{2}*\bruch{x}{x^2+9} \ = \ \bruch{1}{2}*\bruch{\red{2}x}{\red{2}*\left(x^2+9\right)} \ = \ \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{x^2+9} \ = \ \bruch{1}{4}*\bruch{2x}{x^2+9}[/mm]


Und, [lichtaufgegangen] ??


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                                
Bezug
Integrale: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Di 19.07.2005
Autor: asuka

Ja das sollte egal sein von wo ich aus gehe aber das klappt hier irgendwie nicht. habe wahrscheinlich irgendwo einen  dreher drin.

Aber ich denke jetzt hab ich die Aufgabe verstanden!

Danke für die Hilfe!

Mfg Asuka
Bezug
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