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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:03 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Man Zeige: Ist f: U -> [mm] \IR^{+}_{0} [/mm] stetig und U [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] offen, so liegt die durch g(x) :=f(x) für x [mm] \in [/mm] U, g(x):=0 sonst, gegebene Abbildung g: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR \cup {\infty} [/mm] in [mm] H(\IR^{n}).
[/mm]
[mm] (H(\IR^{n}) [/mm] ist die Menge aller f: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR \cup {\infty} [/mm] mit folgender EIgenschaft: Es ex. monoton wachs. Folge (fj) in [mm] C_{c} (\IR^{n}) [/mm] mit für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : fj(x) -> f(x) ) |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hi.
Also ich hab da mal was angefangen und würd gern wissen ob das so geht bzw. wo da fehler sind.
Ein satz besagt dass g: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR \cup {\infty} [/mm] in [mm] H(\IR^{n}) [/mm] genau dann wenn f von unten halbstetig ist und wenn eine kompakte menge K [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ex. mit 0 [mm] \le [/mm] g(x) f. a. x [mm] \in \IR^{n} [/mm] \ K.
also zeig ich dass g halbstetig von unten:
sei a [mm] \in [/mm] U
sei c < g(a) = f(a) [mm] \ge [/mm] 0
U offen also ex. [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] U_{\varepsilon} [/mm] (a) [mm] \subseteq [/mm] U
also x [mm] \in U_{\varepsilon} [/mm] (a) : g(x)=f(x) [mm] \ge [/mm] 0
hier komm ich jetzt irgendwie nicht weiter
sei nun a nicht in U
sei c < g(a)
g(a) = 0 also c <0
sei nun x [mm] \in U_{\varepsilon} [/mm] (a)
fall 1: x in U also g(x) = f(x) [mm] \ge [/mm] 0 > c
fall 2: x nicht in U also g(x) = 0 > c
also ist g halbstetig von unten
Es gilt g(x) = 0 auf [mm] \IR^{n} \U [/mm] komp. also folgt g in [mm] H(\IR^{n})
[/mm]
wie ist das so?
Gruß katrin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 23.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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