Integralbestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Sa 17.10.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, leute!!
ich hab hier ein Problem mit der Bestimmung des Integrals. funktion lautet:
[mm] f_{n}(x)=max(0, n-2n^2|x-\bruch{1}{2n})
[/mm]
wie soll ich das integrieren? So wie man auch normale Funktionen integriert? Dieses max verwirrt mich einbisschen.
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Vielen Dank im Voraus
LG
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Hallo math101,
das ist doch nur eine Schreibweise für folgendes:
Nimm die Funktion [mm] g_n(x)=n-\bruch{2n^2}{x}-\bruch{1}{2n}
[/mm]
NB: War das gemeint? Deine Schreibweise ist nicht gut lesbar. Verwende doch bitte den Formeleditor. Er ist einfach und leistungsstark und ermöglicht eindeutige Notation.
Nun geht der Graph von [mm] f_n(x) [/mm] aus dem von [mm] g_n(x) [/mm] hervor, indem Du einfach alle Bereiche, wo die Funktion negative Werte annimmst, durch die x-Achse (also y=0) ersetzt. Der negative Bereich wird sozusagen abgeschnitten.
Wenn Du also die Nullstellen von [mm] g_n(x) [/mm] innerhalb Deines Integrationsbereichs kennst, dann kannst Du auch das Integral ohne "max" aufteilen und berechnen. Der Parameter n ist dabei ja wenig störend.
Wo hat [mm] g_n(x) [/mm] denn Nullstellen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 17.10.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo,reverend!
Danke für deine schnelle Antwort. Du hast recht ich hab mich da einbisschen vertippt die funktion lautet: [mm] f_{n}(x)=max(0,n-2n^2|x-\bruch{1}{2n}|) [/mm] auf dem Intervall [0,1]. Wenn ich die Nullstellen [mm] g_{n}(x)= n-2n^2|x-\bruch{1}{2n}| [/mm] berechne dann kriege ich sowas wie das:
[mm] 2n^2|x-\bruch{1}{2n}|=n
[/mm]
[mm] |x|+|-\bruch{1}{2n}|\ge|x-\bruch{1}{2n}|=\bruch{1}{2n}
[/mm]
[mm] |x|\ge \bruch{1}{2n}- |\bruch{1}{2n}|
[/mm]
[mm] |x|\ge [/mm] 0
Aber wenn ich Graphen zeichne, dann hab ich immer die Nullstellen in Punkten 0 und [mm] \bruch{1}{2n}. [/mm]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2n}}{n-2n^2|x-\bruch{1}{2n}|dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2|x-\bruch{1}{2n}|}dx\le \integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2|x|+|-\bruch{1}{2n}|}dx= \integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2|x|dx}+\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2\bruch{1}{2n}dx}=2\left[ nx \right]_{0}^{\bruch{1}{2n}}-\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2|x|dx}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Vielen dank noch mal!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für deine schnelle Antwort. Du hast recht ich hab
> mich da einbisschen vertippt die funktion lautet:
> [mm]f_{n}(x)=max(0,n-2n^2|x-\bruch{1}{2n}|)[/mm] auf dem Intervall
> [0,1]. Wenn ich die Nullstellen [mm]g_{n}(x)= n-2n^2|x-\bruch{1}{2n}|[/mm]
> berechne dann kriege ich sowas wie das:
> [mm]2n^2|x-\bruch{1}{2n}|=n[/mm]
> [mm]|x|+|-\bruch{1}{2n}|\ge|x-\bruch{1}{2n}|=\bruch{1}{2n}[/mm]
> [mm]|x|\ge \bruch{1}{2n}- |\bruch{1}{2n}|[/mm]
> [mm]|x|\ge[/mm] 0
Was tust du da?! Wieso schaetzt du irgendwas nach oben ab, was [mm] $\ge [/mm] 0$ ist und wovon du die Nullstellen haben willst? Damit machst du doch alles kaputt.
Du hast doch $2 [mm] n^2 [/mm] |x - [mm] \frac{1}{2 n}| [/mm] = n$, also $|x - [mm] \frac{1}{2 n}| [/mm] = [mm] \frac{1}{2 n}$, [/mm] also $x - [mm] \frac{1}{2 n} [/mm] = [mm] \pm \frac{1}{2 n}$, [/mm] also $x = [mm] \frac{1}{2 n} \pm \frac{1}{2 n}$, [/mm] also $x [mm] \in \{ 0, \frac{1}{n} \}$.
[/mm]
> Aber wenn ich Graphen zeichne, dann hab ich immer die
> Nullstellen in Punkten 0 und [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm]
Das glaube ich nicht: in [mm] $\frac{1}{2 n}$ [/mm] wirst du keine Nullstelle haben! Fuer $x = [mm] \frac{1}{2 n}$ [/mm] ist doch [mm] $g_n(x) [/mm] = n - 2 [mm] n^2 |\frac{1}{2 n} [/mm] - [mm] \frac{1}{2 n}| [/mm] = n$.
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2n}}{n-2n^2|x-\bruch{1}{2n}|dx}=[/mm]
Die obere Grenze sollte [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] sein.
> [mm]\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2|x-\bruch{1}{2n}|}dx\le \integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{2n}}{2n^2|x|+|-\bruch{1}{2n}|}dx[/mm]
Wieso schaetzt du da irgendwas ab???
Ueberleg dir, wann $x - [mm] \frac{1}{2 n}$ [/mm] grossergleich bzw. kleinergleich 0 ist, und unterteile das Integral dementsprechend!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 18.10.2009 | | Autor: | math101 |
Danke für deine Antwort!!!
ich hab dann Integral:
[mm] \integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{2n^2|x-\bruch{1}{2n}|}dx= \left\{\begin{matrix}
\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{2n^2(x-\bruch{1}{2n})}dx\\
\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{ndx}+\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{2n^2(x-\bruch{1}{2n})}dx
\end{matrix}\right. [/mm] und am Ende sollte es [mm] =\left\{\begin{matrix}
3-\bruch{1}{n^2}\\
-1+\bruch{1}{n^2}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Ist das richtig?
Vielen-vielen dank für die Hilfe!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für deine Antwort!!!
> ich hab dann Integral:
>
> [mm]\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{2n^2|x-\bruch{1}{2n}|}dx= \left\{\begin{matrix}
\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{ndx}-\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{2n^2(x-\bruch{1}{2n})}dx\\
\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{ndx}+\integral_{1}^{\bruch{1}{n}}{2n^2(x-\bruch{1}{2n})}dx
\end{matrix}\right.[/mm]
> und am Ende sollte es [mm]=\left\{\begin{matrix}
3-\bruch{1}{n^2}\\
-1+\bruch{1}{n^2}
\end{matrix}\right.[/mm]
Aehm, was machst du da mit der Fallunterscheidung? Beide Faelle sind falsch.
Mal ein Beispiel: du hast $f(x) = g(x)$ fuer $x [mm] \le [/mm] 1$ und $f(x) = h(x)$ fuer $x [mm] \ge [/mm] 1$.
Dann ist [mm] $\int_0^2 [/mm] f(x) dx = [mm] \int_0^1 [/mm] f(x) dx + [mm] \int_1^2 [/mm] f(x) dx = [mm] \int_0^1 [/mm] g(x) dx + [mm] \int_1^2 [/mm] h(x) dx$.
Wende das mal auf dein Integral ab.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mo 19.10.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!
Ich verstehe nicht so ganz...
> Aehm, was machst du da mit der Fallunterscheidung? Beide
> Faelle sind falsch.
>
> Mal ein Beispiel: du hast [mm]f(x) = g(x)[/mm] fuer [mm]x \le 1[/mm] und [mm]f(x) = h(x)[/mm]
> fuer [mm]x \ge 1[/mm].
>
> Dann ist [mm]\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx = \int_0^1 g(x) dx + \int_1^2 h(x) dx[/mm].
>
> Wende das mal auf dein Integral ab.
In deinem Beospiel liegt 1 im Intervall [0,2], bei mir aber ist 0 untere Grenze des Intervalls, also [mm] [0,\bruch{1}{n}]. [/mm] Wie kann ich das anwenden?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich verstehe nicht so ganz...
>
> > Aehm, was machst du da mit der Fallunterscheidung? Beide
> > Faelle sind falsch.
> >
> > Mal ein Beispiel: du hast [mm]f(x) = g(x)[/mm] fuer [mm]x \le 1[/mm] und [mm]f(x) = h(x)[/mm]
> > fuer [mm]x \ge 1[/mm].
> >
> > Dann ist [mm]\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx = \int_0^1 g(x) dx + \int_1^2 h(x) dx[/mm].
> >
> > Wende das mal auf dein Integral ab.
>
> In deinem Beospiel liegt 1 im Intervall [0,2], bei mir
> aber ist 0 untere Grenze des Intervalls, also
> [mm][0,\bruch{1}{n}].[/mm] Wie kann ich das anwenden?
Du sollst es nicht wortwoertlich anwenden, sondern auf dein Problem uebertragen.
(Fuer jemand, er im Hauptstudium Mathematik studiert, sollte das wirklich kein Problem sein.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mo 19.10.2009 | | Autor: | math101 |
Du hast recht ich hab da nicht viel nachgedacht!!:/
Ich glaube jetzt hab ich das
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2n}}{n-2n^2(x-\bruch{1}{2n})dx}+\integral_{\bruch{1}{2n}}^{\bruch{1}{n}}{n-2n^2(x-\bruch{1}{2n}) dx}
[/mm]
An der Stelle kann ich dann weiter rechnen. Oder?
Danke für deine Mühe!!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Du hast recht ich hab da nicht viel nachgedacht!!:/
> Ich glaube jetzt hab ich das
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2n}}{n-2n^2(x-\bruch{1}{2n})dx}+\integral_{\bruch{1}{2n}}^{\bruch{1}{n}}{n-2n^2(x-\bruch{1}{2n}) dx}[/mm]
>
> An der Stelle kann ich dann weiter rechnen. Oder?
Nein, noch nicht ganz. Jetzt steht da beidesmal der gleiche Integrand, d.h. du hast einmal den Betrag nicht richtig umgewandelt.
LG Felix
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