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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Dodi |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{sx^{2}}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(x-u)^{2}} dx} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich versuch mit seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe und habe es bereits mit Substitution und partieller Integration versucht, allerdings bin ich nie auf die passende Antwort gestossen.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Die Lösung ist übrigens [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-2s}}e^{\bruch{u^{2}s}{1-2s}} [/mm] (Hmmm, der Exponent ist ziemlich schwierig lesbar, es sollte [mm] \bruch{u^{2}s}{1-2s} [/mm] sein)
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Dodi |
Hallo Patrick,
Das hier ist mir klar:
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}[/mm] = [mm]\sqrt{\pi}.[/mm]
Aber wie bringe ich das Integral aus der Aufgabenstellung in die Form [mm] \alpha e^{-\beta x^2} [/mm] ?
Ich kann ja das Integral folgendermassen umformen:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{sx^{2}}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(x-u)^{2}} dx}[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{x^{2}(s-\bruch{1}{2})+xu-\bruch{1}{2}u^{2}} dx}[/mm]
Nun habe ich aber im Exponenten einen Term mit [mm] x^{2} [/mm] und einen Term mit x, also kann ich deine Formel nicht anwenden.
Oder habe ich etwas falsch verstanden?
Gruss Dodi
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Hallo Dodi,
der Trick heißt "quadratische Ergänzung"...
Ich lasse mal ein paar eigentlich nötige Fallunterscheidungen weg. Dann kann ich z.B. so umformen:
Achtung: folgt fehlerhafte Rechnung. Korrekte Fassung siehe MathePowers Beitrag weiter unten.
[mm] x^2\left(s-\bruch{1}{2}\right)+xu-\bruch{1}{2}u^2=-\bruch{2}{1-2s}\left(x^2-\bruch{(1-2s)u}{2}x+\bruch{1-2s}{4}u^2\right)=-\bruch{2}{1-2s}\left(x^2-2\bruch{u(1-2s)}{4}x+\blue{\bruch{u^2(1-2s)^{2}}{16}-\bruch{u^2(1-2s)^2}{16}}+\bruch{(1-2s)u^2}{4}\right)=
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{1-2s}\left(\left(x-\bruch{u(1-2s)}{4}\right)^2+u^2\bruch{(1-2s)(3+2s)}{16}\right)
[/mm]
Wenn Du letzteres als neuen Exponenten nimmst, dann liefert Dir das absolute Glied doch nur eine multiplikative Konstante, so dass Du nur noch [mm] \hat{x}=\left(x-\bruch{u(1-2s)}{4}\right) [/mm] substituieren musst.
Grüße
reverend
PS: Sorry, ich bin mit der Vorschau des neuen Editors nicht klargekommen, sonst hätte ich meinen Schwachsinn vorher korrigiert. Beim Editieren fiel es leichter, das Ergebnis zu sehen. Ich werde mich noch dran gewöhnen...
PPS: Nu guck, lags doch gar nicht am Editor. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Dodi |
Ok, vielen Dank euch beiden! Ich habe das Prinzip nun verstanden!
Leider komme ich nicht auf die im ersten Beitrag angegebene Lösung. Habt ihr es hinbekommen?
Meine Lösung wäre [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{1-2s}e^{-\bruch{u^2(3+2s)}{8}} [/mm] (Im Exponenten steht [mm] -\bruch{u^2(3+2s)}{8} [/mm] )
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Hallo Dodi,
> Ok, vielen Dank euch beiden! Ich habe das Prinzip nun
> verstanden!
>
> Leider komme ich nicht auf die im ersten Beitrag angegebene
> Lösung. Habt ihr es hinbekommen?
>
> Meine Lösung wäre
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{1-2s}e^{-\bruch{u^2(3+2s)}{8}}[/mm]
> (Im Exponenten steht [mm]-\bruch{u^2(3+2s)}{8}[/mm] )
Nun, da hat mein Vorredner nicht ganz richtig umgeformt:
[mm] x^2\left(s-\bruch{1}{2}\right)+xu-\bruch{1}{2}u^2=\bruch{2s-1}{2}\left(x^2+\bruch{2u}{2s-1}x-\bruch{2}{2*\left(2s-1\right)}u^2\right)=\bruch{2s-1}{2}\left(x^2+\bruch{2u}{2s-1}x-\bruch{1}{2s-1}u^2\right)[/mm]
[mm]=\bruch{2s-1}{2}\left( \left(x+\bruch{u}{2s-1}\right)^{2}-\left(\bruch{u}{2s-1}\right)^{2}-\bruch{1}{2s-1}u^2\right)[/mm]
[mm]=\bruch{2s-1}{2}\left(\left(x+\bruch{u}{2s-1}\right)^{2}-\left(\bruch{1}{\left(2s-1\right)^{2}}+\bruch{1}{2s-1}}\right)u^{2}\right)[/mm]
[mm]=\bruch{2s-1}{2}\left(\left(x+\bruch{u}{2s-1}\right)^{2}-\bruch{2s}{\left(2s-1\right)^{2}}u^{2}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Di 31.08.2010 | | Autor: | Dodi |
Vielen Dank Mathe-Power und sorry für die zusätzlich Arbeit, dieser Fehler hätte mir auch auffallen können oder müssen. ;)
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http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz#Allgemeinere_Form