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| Aufgabe | [mm] :y=x^2+2x
[/mm]
y=-1/2x+1,5 (aufgeteilt in 5 Flächen...)
Drücke den Inhalt der gescuhten Fläche mit a1-a5 aus und nenne den Inhalt.
1.)Wie ist die Fläche, die die Parabel mit der x-AChse (Intervall -3;0) umschließt?
2.)Wie ist dieFläche, due von der parabel und der Gleichung y=-0,5x+1,5 umschlossen wird
3.)wie ist die Fläche, die von der Parabel und der Geraden zusammen mit der y-achse im ersren Quadranten begtentzt wird=?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin bei dieser gesamten Aufgabe wirklcih ziemlich aufgeschmissen...Ich wollte sie erstmal zeichen, aber das programm lässt meinen (leider superalten) lappi abstürzen...
MHm..also bei der ersten Aufgabe dachte ich spontan an 0-setzen?.. und dann halt ganz nocmal den intzeervall ausrechen? aber die andren (vor allem 3) sind mir schleierhaft,,,
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") bitte helft mir......
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:03 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Morge!
zu 1) Du musst die Parabelgleichung zuerst intergrieren! [mm] \integral_{a}^{b}{x²+2x dx} [/mm] = [mm] \bruch{x³}{3} [/mm] + x²
Dann noch das angegebene Intervall einsetzen:
[mm] \integral_{-3}^{0}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-3}^{0}{x²+2x dx} [/mm] =0-(9+6)= -15 FE
(nicht wundern, dass das ganz negativ ist, liegt daran, dass es unterhalb der x-Achse liegt; der Flächeninhalt beträgt also 15 FE (Flächeneinheiten))
zu2)zuerst: Schnittpkt. ausrechnen: Sind bei x=-0,75 [mm] \pm \wurzel{\bruch{33}{16}}
[/mm]
Dann: In dem Intervall, dass die Schnittpkt. vorgeben zuerst die Fläche unter der Geraden, dann die unter der Parabel ausrechnen, dann die beiden subtrahieren und du kommst auf ca 15 FE plus den 15 FE aus Aufgabe 1 (denn du sollst ja die Fläche zw. den Graphen berechenen und die geht ja unter der x-Achse weiter) dann müsstest du auf 30 FE kommen, ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet, war ein ziemliches Gewurschtel :)
zu 3)Du nimmst wieder den Schnittpkt. aus 2 (der, der im 1. Quadr. liegt, also den positiven). Du intergrierst von 0 aus(also von der y-Achse) bis zu diesem Pkt., wieder bei beiden Fkt. und subtrahierst das Ergebnis. Wenn du dir das bildlich nicht vorstellen kannst, dann zeichne es (mit stift und Papier geht das auch :)
mfg, Anne
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Hallo!
Viele Dank für deine Mühe,,,!
Aufgabe 1 hab ich gut verstanden nr.2 schon weniger udn nummer 3 ist bei mir irgendiwe immernoch total bahnhof.. ich habe verscuht mich an deinen anweisungen zu halten (gezeichnet etc.) und trotzdem die unmöglichsten sachen raus....*depri*
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Hier mal die zeichnung:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Nienor |
ich seh auch grad, dass ich mich verguckt hab und bei y= - 0,5x +1,5 ausversehen das minus vergessen hab, sorry
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Vielen Dank für eure Liebe Hilfe...
Aber ehrlich gesagt bin ich immernoch total verwirrt....beziehen sich diese Lösungen uach wirklcih auf die QAufgaben stellung?...wird da nicht betont mit den in der zeichung vorhandenen A1-A5 zu rechnen?...*weinÜ
---![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Fr 20.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
hier ist wirklich eine Menge an richtigen Intervallgrenzen zu beachten.
Zunächst sollte geklärt werden, welche Flächen in den Teilaufgaben benötigt werden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
1) A5 + A4
2) A1 + A2 + A4
3) A2
Jetzt taucht A3 gar nicht auf, ist aber wichtig!
Zeichne einmal die x-Werte der Schnittpunkte der Parabel und Geraden ein und ziehe eine Senkrechte Linie (nur um die Intervallgrenzen deutlicher zu machen)
Tipp: Wie kommt man an A2?
Die Fläche unter der Geraden im ersten Quadraten ist leicht zu berechnen [mm] A_g [/mm] := [mm] \integral_{0}^{3}{-1/2x+1,5 dx} [/mm] und entspricht A2+A3
Jetzt ist A3 aber Integral über die Parabel von 0 bis x-Wert des Schnittpunktes im ersten Quadranten mit der Gerade plus dem Integral über die Gerade von diesem x-Wert des Schnittpinktes bis 3
Schließlich ergibt sich [mm] A_g [/mm] = A2 +A3 [mm] \gdw A_g [/mm] - A3 = A2
Somit werden alle Teilflächen A1 bis A5 benötigt.
Die Rechenwege sind zuvor bereits gut beschrieben worden. Nur die Ruhe beim Rechnen bewahren und immer auf die Intervallgrenzen achten!!!
Sollten weiter Unklarheiten bestehen, keine Scheu weiter Fragen stellen bis zum endgültigen Durchbruch!!
Gruß
Ron
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 10:37 Sa 21.10.2006 | | Autor: | informix |
Hallo Nienor,
> zu 1) Du musst die Parabelgleichung zuerst intergrieren!
> [mm]\integral_{a}^{b}{x²+2x dx}[/mm] = [mm]\bruch{x³}{3}[/mm] + x²
>
> Dann noch das angegebene Intervall einsetzen:
>
> [mm]\integral_{-3}^{0}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{-3}^{0}{x²+2x dx}[/mm]
> =0-(9+6)= -15 FE
> (nicht wundern, dass das ganz negativ ist, liegt daran,
> dass es unterhalb der x-Achse liegt; der Flächeninhalt
> beträgt also 15 FE (Flächeneinheiten))
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist eindeutig falsch!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Über dem Intervall [-3;0] gibt es zwei Flächenstücke, die getrennt durch die Nullstelle von f berechnet werden müssen!
Ergebnis: [mm] $2*\bruch{4}{3}$ [/mm] wobei bei der Fläche unter der x-Achse der Betrag des Integrals genommen werden muss.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Rebeccab. und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]:y=x^2+2x[/mm]
> y=-1/2x+1,5 (aufgeteilt in 5 Flächen...)
> Drücke den Inhalt der gescuhten Fläche mit a1-a5 aus und
> nenne den Inhalt.
> 1.)Wie ist die Fläche, die die Parabel mit der x-AChse
> (Intervall -3;0) umschließt?
> 2.)Wie ist dieFläche, due von der parabel und der
> Gleichung y=-0,5x+1,5 umschlossen wird
> 3.)wie ist die Fläche, die von der Parabel und der Geraden
> zusammen mit der y-achse im ersten Quadranten begrenzt
> wird=?
Kann es sein, dass du den Aufgabentext (leicht) gekürzt hast?
Ist bei 1) wirklich nur die Fläche zwischen Parabel und x-Achse gemeint?!
Dann lies meine Korrekturmeldung.
>
zu 2)
Zwischen Parabel und Gerade liegt nur ein einziges Flächenstück; da spielen die Nullstellen der beteiligten Funktionen keine Rolle mehr!
Verfahren:
Schnittpunkte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ermitteln und [mm] $\left|\integral_{x_1}^{x_2}{f(x)-g(x) dx}\right|$ [/mm] bestimmen.
zu 3)
Fläche setzt sich aus zwei Stücken zusammen:
[mm] $\left|\integral_{0}^{\frac{1}{2}}{f(x) dx}\right| [/mm] + [mm] \left|\integral_{\frac{1}{2}}^{3}{g(x) dx}\right|$
[/mm]
Da beide Flächenstücke über der x-Achse liegen, braucht man keine Beträge zu beachten (die Intergrale ergeben sowieso positive Ergebnisse  )!
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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> $ [mm] :y=x^2+2x [/mm] $
> y=-1/2x+1,5 (aufgeteilt in 5 Flächen...)
> Drücke den Inhalt der gescuhten Fläche mit a1-a5 aus und
> nenne den Inhalt.
> 1.)Wie ist die Fläche, die die Parabel mit der x-AChse
> (Intervall -3;0) umschließt?
> 2.)Wie ist dieFläche, due von der parabel und der
> Gleichung y=-0,5x+1,5 umschlossen wird
> 3.)wie ist die Fläche, die von der Parabel und der Geraden
> zusammen mit der y-achse im ersten Quadranten begrenzt
> wird=?
Kann es sein, dass du den Aufgabentext (leicht) gekürzt hast?
Ist bei 1) wirklich nur die Fläche zwischen Parabel und x-Achse gemeint?!
Dann lies meine Korrekturmeldung.
MHm...also die aufgabenstellung war: berechnen sie den inhalt der fläche, welche die parabel mit der x-achse über dem Intervall [-3,0] einschließt...
--> welche rechnun ist nun angebracht?..(bin durch dir korrigierten sachen verwirrt..dachte schon es wäre logisch wars dann wohl doch nicht*G*...
>
zu 2)
Zwischen Parabel und Gerade liegt nur ein einziges Flächenstück; da spielen die Nullstellen der beteiligten Funktionen keine Rolle mehr!
Verfahren:
Schnittpunkte $ [mm] x_1 [/mm] $ und $ [mm] x_2 [/mm] $ ermitteln und $ [mm] \left|\integral_{x_1}^{x_2}{f(x)-g(x) dx}\right| [/mm] $ bestimmen.
Ist da die vorgehensweise mit gleichsetzen richtig?...
hab das gemacht und dann für x1 = 4 und x2=-1,5
[mm] integral_{-1,5}^{4}{f(x)-g(x) dx}
[/mm]
..leider is mein ergebnis dann -3453/34566...
zu 3)
Fläche setzt sich aus zwei Stücken zusammen:
$ [mm] \left|\integral_{0}^{\frac{1}{2}}{f(x) dx}\right| [/mm] + [mm] \left|\integral_{\frac{1}{2}}^{3}{g(x) dx}\right| [/mm] $
Da beide Flächenstücke über der x-Achse liegen, braucht man keine Beträge zu beachten (die Intergrale ergeben sowieso positive Ergebnisse )!
,,,,besteht hieraus einfach nur das einsetzen und ausrechnen?...schon wieder bruchergebnis...*kummer*
es tut mir leid für meine vielen fragen, möchte das aber gerne verstehn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
1.) Wenn die Fläche gesucht ist in einem bestimmten Intervall zwischen einem Grafen und der x-Achse, dann sollte man erst schauen, ob die Funktion dort Nullstellen hat. Denn Flächen unter der x-Achse werden ja negativ.
Deshalb darf man nicht einfach [mm] \integral_{0}^{-3}{(x²+2x) dx}.
[/mm]
Man findet also zuerst die Nullstellen im Intervall. Das wäre hier -2.
Also berechnet man erst die Fläche von -3 bis -2 und dann rechnet man die Fläche von -2 bis 0 dazu.
Und da ja alle Flächen dort positiv sein sollen, setzt man immer Betragsstriche um die einzelnen bestimmten Integrale.
Formelhaft:
[mm] |\integral_{-3}^{-2}{(x²+2x) dx}|+|\integral_{-2}^{0}{(x²+2x) dx}|
[/mm]
So wäre es richtig, denn so hat man 2 Teilflächen, die beide positiv sind und zusammen die gesamte Fläche ergeben, die man berechnen soll!
(Zur Kontrolle: [mm] A=\bruch{8}{3}FE)
[/mm]
2.) Ja, erst gleichsetzen, damit du erstmal die Integrationsgrenzen hast.
Der Gedanke ist also richtig, aber die berechneten Schnittpunkte sind leider falsch.
Berechne die am besten nochmal! Einer von ihnen sollte x=0,5 sein.
3.)
Hier verstehe ich das 2. Integral nicht.
Die Fläche lässt sich nämlich mit
[mm] \integral_{0}^{0,5}{(-\bruch{1}{2}x+1,5-(x²+2x)) dx} [/mm] berechnen.
Die linke Integrationsgrenze ist die y-Achse, also x=0. Die Rechte wäre der Schnittpunkt der Grafen, also [mm] x=\bruch{1}{2}. [/mm] Und mehr brauchst du ja dann nicht. Informix hat wohl x-Achse statt y-Achse gelesen :)
Du solltest dir das mal aufzeichnen und dann siehst du schon welche Fläche das ist. Und dieses Integral berechnest du ganz normal. Kann schon sein, dass Brüche herauskommen, weil die Parabel ja krummlinig ist!
(Kontrolle: [mm] A=\bruch{19}{48}FE)
[/mm]
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ok, vielen dank jetzt hab ich es endlich verstanden (heisst jedoch nicht, dass keine rechenfehler aufkommen:))...
bei 2 habe ich nachgerechnet und als nullpunkte: 3 und 0,5 herausbekommen...als endergebnis dann 12,5 ? ,,,hoffe dass das teilweise jedenfalls richtig ist*G*...
Danke nochmal!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Stimmt leider nicht ganz! Die andere Schnittstelle sollte x=-3 sein.
Und der Flächeninhalt ist dann wieder ein Bruch :) also nicht wundern. Und noch etwas: Wenn du die Schnittfläche zwischen 2 Grafen berechnen sollst und diese Fläche ist negativ, dann liegt das daran, dass du f(x)-g(x) gerechnet hast, aber f(x) in dem Intervall unter g(x) liegt.
Im Intervall [-3;0,5] liegt die lineare Funktion höher als als Parabel. Deshalb solltest du also die Parabel von der linearen Funktion abziehen. Oder um ganz sicher zu sein setzt du einfach immer Betragsstriche um das bestimmte Integral, und dann kann es dir ja egal sein welche Funktion in dem Intervall über der anderen liegt :) Vielleicht hilft es dir mal.
Aber versuch erst nochmal die Fläche zu berechnen!
(Sollte etwas mehr als 7 sein :))
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| Status: |
(Korrektur) Korrekturmitteilung | | Datum: | 15:21 So 22.10.2006 | | Autor: | informix |
Hallo Teufel,
Dieser Text besagt etwas anderes als das formelhafte Integral:
> Also berechnet man erst die Fläche von -3 bis -2 und dann
> rechnet man die Fläche von -2 bis 0 dazu.
> Und da ja alle Flächen dort positiv sein sollen, setzt man
> immer Betragsstriche um die einzelnen bestimmten
> Integrale.
>
hier hast du die Grenzen unzulässig vertauscht:
> Formelhaft:
> [mm]|\integral_{-2}^{-3}{(x²+2x) dx}|+|\integral_{0}^{-2}{(x²+2x) dx}|[/mm]
richtig:
[mm]\left|\integral^{-2}_{-3}{(x²+2x) dx}\right|+\left|\integral^{0}_{-2}{(x²+2x) dx}\right|[/mm]
>
> So wäre es richtig, denn so hat man 2 Teilflächen, die
> beide positiv sind und zusammen die gesamte Fläche ergeben,
> die man berechnen soll!
>
> (Zur Kontrolle: [mm]A=\bruch{8}{3}FE)[/mm]
>
Gruß informix
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Hallöchen...habe nun endlich 1 und 3 lösen können allerding happere ich bei aufgabe 2..
habe ich das mit den betragstrichen richtig verstanden?
[mm] \integral_{-3}^{0,5}{|f(x)|- |dx|} [/mm] könnte nun also auch |dx|-|fx| rechnen?...
desweiteren würde dass dann ja so aussehen:
[mm] \integral_{-3}^{0,5}|x^2+2x|-|-1/2x+1,5| [/mm] is das richtig=?
am ende wurde dann in etwa 7,22 rauskommen...
|7/24|-|49/64| und dann
|0|-|-6,75| ...also 7,22
so richtig is dass bestimmt leider nich oder?....danke trotzdem
LG
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Hallo Rebeccab.,
> Hallöchen...habe nun endlich 1 und 3 lösen können allerding
> happere ich bei aufgabe 2..
>
> habe ich das mit den betragstrichen richtig verstanden?
> [mm]\integral_{-3}^{0,5}{|f(x)|- |dx|}[/mm] könnte nun also auch
> |dx|-|fx| rechnen?...
>
Was soll dies denn nun heißen?
> desweiteren würde dass dann ja so aussehen:
>
> [mm]\integral_{-3}^{0,5}|x^2+2x|-|-1/2x+1,5|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
is das
> richtig=?
nein, sondern:
$\left|\integral_{-3}^{0,5}{(x^2+2x)-(-1/2x+1,5) \ dx}\right|=\left|[\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{4}x^2 - \frac{3}{2}x]_{-3}^{0,5} \right|$
$=\left| (\frac{1}{3}*(\frac{1}{2})^3+\frac{5}{4} (\frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}*\frac{1}{2}) -[\frac{1}{3}*(-3)^3}+\frac{5}{4} (-3)^2 - \frac{3}{2}*(-3)] \right|$
>
> am ende wurde dann in etwa 7,22 rauskommen...
>
rechne bitte selbst weiter...
Gruß informix
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