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| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^(c*x)*(sin(x)) dx} [/mm] |
</task>
Hallo,
durch die partielle Integration habe ich festgelegt:
u'(x) = e^(cx), u(x) = 1/c*(e^(cx)) und v(x)= sinx, v'(x) = -cosx
Es folgt: [1/c*(e^(cx))*sinx] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x)*e^(cx) dx}
[/mm]
Wie mache ich denn nun weiter? oder macht die partielle Integration bei diesem Beispiel einfach keinen Sinn?
Danke schonmal und viele Grüße
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Da du ein bestimmtes Integral hast, mußt du die Grenzen im ersten Teil mit den eckigen Klammern einsetzen. Da bleibt dann nicht viel übrig ...
Und dann wiederhole dein Vorgehen mit dem verbleibenden Integral. Dann wird der Sinus den Cosinus wieder ablösen. Wenn also [mm]I[/mm] das gesuchte Integral ist, erhältst du eine Gleichung der Art
[mm]I = a + bI[/mm]
Und diese läßt sich nach [mm]I[/mm] auflösen.
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Ich habe das mal probiert, aber habe ein Problem mit dem Faktor 1/c² vor dem Integral...
f' = [mm] e^{cx}, [/mm] g = sinx
[mm] [1/c*e^{cx}*sinx] -\integral_{0}^{\pi}{1/c*e^cx*(-cosx) dx} [/mm]
und dann nochmal das hintere Integral integriert, kann man an dieser Stelle das 1/c vor das Integral ziehen? Also:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{cx}*sinx } [/mm] = [mm] [1/c*e^{cx}*sinx] [/mm] - [mm] 1/c*([1/c*e^{cx}*(-cosx)]-\integral_{0}^{\pi}{1/c*e^{cx}*sinx dx}) [/mm]
Durch den Faktor vor dem Integral kann man das Integral ja nicht mit dem Ausgangsintegral zusammenaddieren und durch 2 teilen, wie das möglich wäre bei [mm] e^{x}, [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Sa 23.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst den Faktor [mm] \frac{1}{c} [/mm] herausziehen.
Ganz wichtig, danke Leopold: Bestimme besser mit dem unbestimmten Integral eine Stammfunktion, und setze dann final erst die Grenzen ein.
[mm]\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)-\frac{1}{c}\cdot{}\left(\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot{}(-\cos(x))-\integral\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)dx\right) [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)+\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot{}\cos(x)-\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)dx [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx+\frac{1}{c^{2}}\cdot\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)+\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot{}\cos(x) [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{c^{2}}\right)\cdot\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)+\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot{}\cos(x) [/mm]
Nun teile noch passend, dann hast du eine Stammfunktion.
Marius
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Das ist denkunmöglich. Wie kann ein bestimmtes Integral die Variable x enthalten?
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:11 So 24.04.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Leopold
> Das ist denkunmöglich. Wie kann ein bestimmtes Integral
> die Variable x enthalten?
Das stimmt, ich ändere meine Antwort nochmal dahingehend.
Marius
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Soweit bin ich jetzt auch schon gekommen, danke!
Also teile ich jetzt durch (1+1/c²). Allerdings habe ich jetzt das Problem, dass ich auf der rechten Seite (1+1/c²) nicht ausklammern kann. Da gibt es doch bestimmt wieder irgendeinen Trick? Kannst du mir einen Tipp geben? :)
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Ein bestimmtes Integral kann nicht von x abhängen. Das ist falsch.
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Das hast du völlig ignoriert.
Da du ein bestimmtes Integral hast, mußt du die Grenzen im ersten Teil mit den eckigen Klammern einsetzen.
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Ich dachte, man könnte erstmal mit eckigen Klammern weiterrechnen und am Schluss dann einsetzen...
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{cx}*sinx dx} [/mm] = [mm] 1/c*e^{c\pi}*sin\pi [/mm] - [mm] (1/c²*e^{c\pi}*(-cos\pi) [/mm] +1) - 1/c*(integral) So richtig?
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[mm]I = \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \sin x ~ \mathrm{d}x = \underbrace{ \left. \frac{1}{c} \operatorname{e}^{cx} \cdot \sin x \right|_{\, 0}^{\, \pi}}_{= 0} - \frac{1}{c} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \cos x ~ \mathrm{d}x = - \frac{1}{c} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \cos x ~ \mathrm{d}x[/mm]
Und jetzt noch einmal partiell integrieren:
[mm]I = - \frac{1}{c} \cdot \left. \left( \frac{1}{c} \operatorname{e}^{cx} \cdot \cos x \right|_{\, 0}^{\, \pi} + \frac{1}{c} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \sin x ~ \mathrm{d}x \right) = - \frac{1}{c^2} \cdot \left( \operatorname{e}^{c \pi} \cdot (-1) - 1 \right) - \frac{1}{c^2} \cdot I = \frac{1}{c^2} \left( \operatorname{e}^{c \pi} + 1 \right) - \frac{1}{c^2} \cdot I[/mm]
Nach Multiplikation mit [mm]c^2[/mm] wird daraus
[mm]c^2 I = \operatorname{e}^{c \pi} + 1 - I[/mm]
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Vielen Dank!
Dann löse ich jetzt einfach nach I auf und erhalte mein Ergebnis, oder?
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Ja.
Bei der partiellen Integration kannst du entweder unbestimmt oder bestimmt integrieren. Du kannst aber nicht beides in derselben Umformungskette verquicken.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 25.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Manchmal lohnt sich der Weg übers Komplexe:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{cx}\cdot{}(sin(x)) dx}=Im(\integral_{0}^{\pi}{e^{(c+i)x} dx}) [/mm] $
FRED
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