Integral zwischen 2 Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Zahl k so, dass die von den Graphen von f und g eingeschlossene Flächen den angegebenen Flächeninhalt A hat.
a) f(x)= [mm] x^2+k [/mm] g(x)= [mm] -x^2 [/mm] A= 2
b) f(x)= -k * [mm] x^2 [/mm] +1 g(x) = [mm] x^2 [/mm] A= 2/3
c) f(x) = [mm] x^2 [/mm] + k * x g(x)= [mm] -x^2 [/mm] A=9 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage lautet wie ich jez k berechnen soll.
Vorher musste ich immer nur den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen und nun hab ich den Flächeninhalt aber nicht die vollständige Funktion.
Ich bräuchte theoretisch nur einen Anfangsgedanken...
Mein Anfang wäre jez bei a) zB:
[mm] 2=\integral_{a}^{b}{f(x) - g(x) dx} [/mm] = [F(b)-G(b)]-[F(a)-G(a)]
Aber weiter wüsste ich jez auch nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nils,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Prinzipiell sieht das richtig aus. Allerdings benötigst Du nunmehr die Integrationsgrenzen $a_$ und $b_$ .
Diese erhältst Du durch Gleichsetzen der beiden gegebenen Funktionsterme.
Das heißt z.B. bei Aufgabe a.) ...
[mm] $$f_k(x) [/mm] \ = \ g(x)$$
[mm] $$x^2+k [/mm] \ = \ [mm] -x^2$$
[/mm]
Diese Gleichung nun nach $x \ = \ ...$ auflösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
dann wüsste ich jez aber net weiter...
weil dann hab ich die Grenzen aber was dann?
Mein Lehrer hat so etwas noch nie mit uns besprochen, und deshalb hab ich völlig verständnislos keine Ahnung davon, wie ich weiter vorgehen soll...
Könntest du/oder irgendwer mir nicht die 1. Aufgabe bzw. Aufgabenteil a) "vorrechnen" damit ich das Prinzip dahinter verstehen könnte?
LG
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Hallo Nils,
> dann wüsste ich jez aber net weiter...
>
> weil dann hab ich die Grenzen aber was dann?
Gut, die Schnittstellen sind dann deine Integrationsgrenzen.
Integrieren musst du über die Differenzfunktion [mm] $d(x)=g(x)-f(x)=-x^2-(x^2+k)=-2x^2-k$ [/mm] in den oben berechneten Grenzen [mm] $x_1,x_2$.
[/mm]
Berechne also [mm] $\int\limits_{x_1}^{x_2}{d(x) \ dx}=\int\limits_{x_1}^{x_2}{(-2x^2-k) \ dx}$
[/mm]
Damit bekommst du einen Flächeninhalt in Abhängigkeit von $k$, den du dann $=2$ setzen musst, um den Wert für k zu bestimmen
>
> Mein Lehrer hat so etwas noch nie mit uns besprochen, und
> deshalb hab ich völlig verständnislos keine Ahnung davon,
> wie ich weiter vorgehen soll...
>
> Könntest du/oder irgendwer mir nicht die 1. Aufgabe bzw.
> Aufgabenteil a) "vorrechnen" damit ich das Prinzip dahinter
> verstehen könnte?
Das Prinzip hast du jetzt, nun geht's ans Rechnen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
Also müsste ich jez [mm] -2x^2-k [/mm] aufleiten, sprich [mm] -\bruch{2}{3}x^3-\bruch{1}{2}k^2 [/mm] und dann [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] einsetzen:
2= [mm] \integral_{x_{1}}^{x_{2}}{(-2x^2-k) dx} [/mm] = [mm] F(x_{2}) [/mm] - [mm] F(x_{1})
[/mm]
= [mm] (-\bruch{2}{3}x_{2}^3-\bruch{1}{2}k^2) [/mm] - [mm] (-\bruch{2}{3}x_{1}^3-\bruch{1}{2}k^2)
[/mm]
Dann würde k jedoch wegfallen...
Ich weiß irgendwie grad nicht wie is das hier machen soll
> Integrieren musst du über die Differenzfunktion
> [mm]d(x)=g(x)-f(x)=-x^2-(x^2+k)=-2x^2-k[/mm] in den oben berechneten
> Grenzen [mm]x_1,x_2[/mm].
>
> Berechne also [mm]\int\limits_{x_1}^{x_2}{d(x) \ dx}=\int\limits_{x_1}^{x_2}{(-2x^2-k) \ dx}[/mm]
>
> Damit bekommst du einen Flächeninhalt in Abhängigkeit von
> [mm]k[/mm], den du dann [mm]=2[/mm] setzen musst, um den Wert für k zu
> bestimmen
Ich habe meiner Ansicht nach hier alles beachtet, weiß aber nicht weiter
Könnte mir da jmd. vll auf die Sprünge helfen?
Danke im Voraus
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Hallo nochmal,
> Also müsste ich jetzt
Also bitte!
[mm]-2x^2-k[/mm] aufleiten
woher kennst du dieses Unwort?
Das heißt "integrieren", das "a-Wort" gibt es nicht!
> , sprich
> [mm]-\bruch{2}{3}x^3-\bruch{1}{2}k^2[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es wird nach der Variablen $x$ integriert, also ergibt das [mm] $-\frac{2}{3}x^3-\red{kx}$ [/mm] !!
Hier war der Fehler!
Nun nochmal weiter ...
Und: wie lauten denn die Grenzen nun konkret? [mm] $x_1=...$ [/mm] und [mm] $x_2=...$
[/mm]
Die Berechnung dieser Grenzen (als Schnittstellen von $f$ und $g$) hast du bisher verschwiegen 
Löse also erstmal $f(x)=g(x)$, also [mm] $x^2+k=-x^2$ [/mm] nach x auf ...
Diese konkreten Werte brauchst du nachher zum Einsetzen - soviel sei verraten, sie hängen natürlich von k ab
> und dann [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]
> einsetzen:
>
> 2= [mm]\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{(-2x^2-k) dx}[/mm] = [mm]F(x_{2})[/mm] -
> [mm]F(x_{1})[/mm]
>
> = [mm](-\bruch{2}{3}x_{2}^3-\bruch{1}{2}k^2)[/mm] -
> [mm](-\bruch{2}{3}x_{1}^3-\bruch{1}{2}k^2)[/mm]
>
>
> Dann würde k jedoch wegfallen...
>
> Ich weiß irgendwie grad nicht wie is das hier machen soll
>
>
> > Integrieren musst du über die Differenzfunktion
> > [mm]d(x)=g(x)-f(x)=-x^2-(x^2+k)=-2x^2-k[/mm] in den oben berechneten
> > Grenzen [mm]x_1,x_2[/mm].
> >
> > Berechne also [mm]\int\limits_{x_1}^{x_2}{d(x) \ dx}=\int\limits_{x_1}^{x_2}{(-2x^2-k) \ dx}[/mm]
>
> >
> > Damit bekommst du einen Flächeninhalt in Abhängigkeit von
> > [mm]k[/mm], den du dann [mm]=2[/mm] setzen musst, um den Wert für k zu
> > bestimmen
>
>
> Ich habe meiner Ansicht nach hier alles beachtet, weiß
> aber nicht weiter
>
> Könnte mir da jmd. vll auf die Sprünge helfen?
>
> Danke im Voraus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
SO...
Dann will ich jetzt mal gucken ob ich das richtig gemacht habe:
f(x)=g(x)
[mm] x^2+k [/mm] = [mm] -x^2 |-x^2
[/mm]
k= [mm] -2x^2 [/mm] |:(-2)
[mm] -\bruch{k}{2} [/mm] = [mm] x^2 |\wurzel{...}
[/mm]
[mm] -\wurzel{-\bruch{k}{2}} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] \wurzel{-\bruch{k}{2}} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Das hätten wir dann erst einmal
Also:
2 = [mm] \integral_{-\wurzel{-\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{-\bruch{k}{2}}}{(-2x^2-k) dx}= F(\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm] - [mm] F(-\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm]
So und jetzt INTEGRIEREN:
F(x) = $ [mm] -\frac{2}{3}x^2-{kx} [/mm] $
[mm] F(\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm] - [mm] F(-\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm]
= [mm] (-\bruch{2}{3}* (\wurzel{-\bruch{k}{2}})^2 [/mm] - [mm] k*\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm] - [mm] (-\bruch{2}{3}* (-\wurzel{-\bruch{k}{2}})^2 -k*(-\wurzel{-\bruch{k}{2}}))
[/mm]
[mm] =(-\bruch{2}{3}* {-\bruch{k}{2}} [/mm] - [mm] k*\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm] - [mm] (-\bruch{2}{3}* {-\bruch{k}{2}} -k*(-\wurzel{-\bruch{k}{2}}))
[/mm]
So und das ist jetzt der Punkt an dem ich nicht mehr weiterweiß
Könnte da mir jmd zum hoffentlich allerletztem Mal helfen
Danke im Voraus
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Hallo Nils92,
> SO...
>
> Dann will ich jetzt mal gucken ob ich das richtig gemacht
> habe:
>
>
> f(x)=g(x)
>
> [mm]x^2+k[/mm] = [mm]-x^2 |-x^2[/mm]
>
> k= [mm]-2x^2[/mm] |:(-2)
>
> [mm]-\bruch{k}{2}[/mm] = [mm]x^2 |\wurzel{...}[/mm]
>
> [mm]-\wurzel{-\bruch{k}{2}}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{-\bruch{k}{2}}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
>
> Das hätten wir dann erst einmal
>
> Also:
>
> 2 =
> [mm]\integral_{-\wurzel{-\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{-\bruch{k}{2}}}{(-2x^2-k) dx}= F(\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm]
> - [mm]F(-\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm]
Der Integrand lautet doch: [mm]2*x^{2}\red{+}k[/mm]
>
> So und jetzt INTEGRIEREN:
>
> F(x) = [mm]-\frac{2}{3}x^2-{kx}[/mm]
Daher auch die Stammfunktion
[mm]F\left(x\right) = \frac{2}{3}x^{\blue{3}}\red{+}{kx}\red{+C}, \ C \in \IR[/mm]
>
> [mm]F(\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm] - [mm]F(-\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm]
>
> = [mm](-\bruch{2}{3}* (\wurzel{-\bruch{k}{2}})^2[/mm] -
> [mm]k*\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm] - [mm](-\bruch{2}{3}* (-\wurzel{-\bruch{k}{2}})^2 -k*(-\wurzel{-\bruch{k}{2}}))[/mm]
>
> [mm]=(-\bruch{2}{3}* {-\bruch{k}{2}}[/mm] -
> [mm]k*\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm] - [mm](-\bruch{2}{3}* {-\bruch{k}{2}} -k*(-\wurzel{-\bruch{k}{2}}))[/mm]
>
> So und das ist jetzt der Punkt an dem ich nicht mehr
> weiterweiß
Das Stichwort hier heisst "zusammenfassen".
>
> Könnte da mir jmd zum hoffentlich allerletztem Mal helfen
>
> Danke im Voraus
>
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
Ja das is mir natürlich klar.
Aber bin jez an einem Punkt wo ich nicht mehr weiterweiß:
hab jez da stehen
2 = k [mm] *(\wurzel{-\bruch{k}{2}}) [/mm] - [mm] k*(-\wurzel{-\bruch{k}{2}})
[/mm]
WIe gehts jetzt weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
Ahhh... tut mir Leid
Hab anstatt [mm] x^3 [/mm] ausversehen [mm] x^2 [/mm] genommen...
Werd das dann nochma mit [mm] x^3 [/mm] nachrechnen
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Hallo nochmal,
bevor du wie wild losrechnest, vereinfache es dir etwas mit folgender Tatsache:
[mm] $\int\limits_{-\sqrt{-\frac{k}{2}}}^{\sqrt{-\frac{k}{2}}}{(-2x^2-k) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\int\limits_{0}^{\sqrt{-\frac{k}{2}}}{(-2x^2-k) \ dx}$, [/mm] denn der Integrand [mm] $-2x^2-k$ [/mm] ist eine gerade Funktion
Da hast du dann mit der unteren Grenze 0 nur die Hälfte zu rechnen
Gruß
schachuzipus
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Hallo MathePower,
> [mm]\integral_{-\wurzel{-\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{-\bruch{k}{2}}}{(-2x^2-k) dx}= F(\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm]
> > - [mm]F(-\wurzel{-\bruch{k}{2}})[/mm]
>
> Der Integrand lautet doch: [mm]2*x^{2}\red{+}k[/mm]
Ob nun der Integrand nun [mm] $-2*x^{2}\red-k$ [/mm] oder [mm] $+2*x^{2}\red+k$ [/mm] lautet, ist ja erstmal egal, oder
> Daher auch die Stammfunktion
>
> [mm]F\left(x\right) = \frac{2}{3}x^2\red{+}{kx}\red{+C}, \ C \in \IR[/mm]
Ich würde sagen
[mm]F\left(x\right) = \frac{2}{3}x^{\red{3}}+{kx}\red{+C}, \ C \in \IR[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
Ich hätte zu dieser Aufgabe vll noch eine Bitte:
Könnte mir jmd. sozusagen eine "Musterlösung" für diese Aufgabe machen, weil ich mich immer wieder in total komplexe Rechnungen reinreite und es nicht schaffe am Ende die Integralrechnung nach dem Integral umzuformen...
Ich weiß auch nicht warum ich es nicht schaffe auf ein Ergebnis zu kommen...
Bräuchte nur eine Rechnung als sozusagen eine "Vorlage" für die Aufgaben b) und c) o.ä.
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Hallo nochmal,
> Ich hätte zu dieser Aufgabe vll noch eine Bitte:
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> Könnte mir jmd. sozusagen eine "Musterlösung" für diese
> Aufgabe machen, weil ich mich immer wieder in total
> komplexe Rechnungen reinreite und es nicht schaffe am Ende
> die Integralrechnung nach dem Integral umzuformen...
>
> Ich weiß auch nicht warum ich es nicht schaffe auf ein
> Ergebnis zu kommen...
>
> Bräuchte nur eine Rechnung als sozusagen eine "Vorlage"
> für die Aufgaben b) und c) o.ä.
ok, das ist auch ein bisschen "tricky" mit all den Wurzeln und Vorzeichen.
Also ich berechne das "einfachere" Integral
[mm] $2\int\limits_{0}^{\sqrt{-\frac{k}{2}}}{(-2x^2-k) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=2\cdot{}\left[-\frac{2}{3}x^3-kx\right]_0^{\sqrt{-\frac{k}{2}}}$
[/mm]
[mm] $=2\cdot{}\left[-\frac{2}{3}\cdot{}\left(\sqrt{-\frac{k}{2}}\right)^3-k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}\right]$
[/mm]
[mm] $=2\cdot{}\left[-\frac{2}{3}\cdot{}\left(\sqrt{-\frac{k}{2}}\right)^2\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}-k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}\right]$
[/mm]
[mm] $=2\cdot{}\left[-\frac{2}{3}\cdot{}\left(-\frac{k}{2}\right)\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}-k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}\right]$
[/mm]
[mm] $=2\cdot{}\left[\frac{k}{3}\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}-k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}\right]$
[/mm]
[mm] $=2\cdot{}\left[-\frac{2}{3}k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}\right]$
[/mm]
[mm] $=-\frac{4}{3}k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}$
[/mm]
Und das soll $=2$ sein:
Also [mm] $-\frac{4}{3}k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}=2 [/mm] \ \ \ \ [mm] \mid\cdot{}\left(-\frac{3}{4}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw k\cdot{}\sqrt{-\frac{k}{2}}=-\frac{3}{2}$
[/mm]
Nun beide Seiten quadrieren und schließlich nach $k$ auflösen.
Es kommt ein ziemlich "krummer" Wert heraus ...
Hier mal die Zeichnung dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Nils92 |
Ja das is mir ja klar....
Darum gings mir ja jetzt nicht...
Ich habe das Problem das ich das jetzt nicht weiter auflösen kann
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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