Integral von Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Wenn mann beliebige Zufallsvariablen f,g auf Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\omega, \mathcal{A},P) [/mm] mit P({f=g}) =1 gegeben hat. Folgt dann automatisch schon [mm] \integral_{}^{}{f dP}= \integral_{}^{}{g dP}? [/mm]
Wie könnte man das am geschicktesten beweisen? Meine Idee ist aus der Voraussetzung P({f=g}) =1 zu folgern dass f [mm] \le [/mm] g und g [mm] \le [/mm] f Somit folgt dann auch [mm] \integral_{}^{}{f dP} \le \integral_{}^{}{g dP} [/mm] und [mm] \integral_{}^{}{g dP} \le \integral_{}^{}{f dP}. [/mm] Folglich die Gleichheit.
martin
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Hallo potatoe17,
> Wenn mann beliebige Zufallsvariablen f,g auf
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\omega, \mathcal{A},P)[/mm] mit
> P({f=g}) =1 gegeben hat. Folgt dann automatisch schon
> [mm]\integral_{}^{}{f dP}= \integral_{}^{}{g dP}?[/mm]
Ist [mm] P(\{f=g\})=1, [/mm] so folgt [mm] P(\{f\neq g\})=0.
[/mm]
Die Menge der [mm] \omega\in\Omega [/mm] mit [mm] f(\omega)\neq g(\omega) [/mm] ist also eine Nullmenge. Damit folgt, dass die Integrale (falls sie existieren) gleich sind.
> Wie könnte man das am geschicktesten beweisen? Meine Idee
> ist aus der Voraussetzung P({f=g}) =1 zu folgern dass f [mm]\le[/mm] g und g [mm]\le[/mm] f
Das geht nicht. Die Aussage [mm] P(\{f=g\})=1 [/mm] impliziert doch nicht f=g.
LG
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Vielen Dank für deine Antwort. Ok Somit ist P({f [mm] \not= [/mm] g}) = 0 Plausibel erscheint es somit dass dann auch die Integrale übereinstimmen. Jedoch möchte ich das iwie auch formal fassen. Könnte man ansetzen indem man P({f=g}) = 1 umschreibt, mit P({f=g}) = 1 <=> P({f [mm] \le [/mm] g, g [mm] \le [/mm] f}) und dann den Satz von der totalen WK anwendet?
Gruß
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Vielen Dank für deine Antwort. Ok Somit ist P({f [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g})
> = 0 Plausibel erscheint es somit dass dann auch die
> Integrale übereinstimmen. Jedoch möchte ich das iwie auch
> formal fassen. Könnte man ansetzen indem man P({f=g}) = 1
> umschreibt, mit P({f=g}) = 1 <=> P({f [mm]\le[/mm] g, g [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f})
Das ist doch eine wenig sinnvolle Aussage !
Wenn 2 Funktionen übereinstimmen, bis auf eine Nullmenge, so fallen ihre Integrale gleich aus. Das ist ein Satz !
FRED
> und
> dann den Satz von der totalen WK anwendet?
> Gruß
> martin
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