Integral von 1/(1+x^3) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Di 10.04.2007 | | Autor: | moscao |
| Aufgabe | | Berechnen sie den Wert des Integrals |
hallo,
ich bräuchte hilfe, um folgendes integral zu lösen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^3} dx}
[/mm]
ich habe schon einige lösungsansätze verwendet, aber keiner von
denen kam zu einer wirklichen lösung
1. Substution:
[mm] u=1+x^3 [/mm] <----> x= [mm] \wurzel[3]{u-1}
[/mm]
u '= [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=u'
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{3\wurzel[3]{(u-1)^2}}
[/mm]
dann hätte ich
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{u}\*\bruch{du}{3\wurzel[3]{(u-1)^2}}}
[/mm]
So hier habe ich schon Probleme....ich habe versucht, das Produkt im Nenner irgendwie durch Ergänzen, Kürzen zu trennen, damit ich dann vielleicht aus dem Integral ein Logarithmus bekommen könnte, aber bin
gescheitert, bzw. geht nicht.
2. Methode: Erweitern:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{3x^2}*\bruch{3x^2}{1+x^3} dx}
[/mm]
hier wollte ich versuchen, den logarithmus aus dem zweiten term [mm] \bruch{3x^2}{1+x^3} [/mm] zu machen, ob dies zu einer lösung führt. Natürlich müsste ich hier partiell integrieren, aber in dem enstandenen Integral habe ich
[mm] \ln(1+x^3)* (-2/3x^3)
[/mm]
das is glaube ich auch nich gesunder....dann würde ich mich noch mehr ins chaos stürzen...
3. Methode: imaginäre 1
[mm] \integral_{0}^{\infty}{1*\bruch{1}{1+x^3} dx}
[/mm]
hier ist die 1 mein g'(x) und [mm] \bruch{1}{1+x^3} [/mm] mein f(x),
da leite ich die 1 hoch----> wird zu x
den bruch leite ich ab-----> - [mm] \bruch{3x^2}{(1+x^3)^2}
[/mm]
dann würde da stehen
[mm] x*\bruch{1}{1+x^3}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{3x^3}{(1+x^3)^2 }dx}
[/mm]
hier habe ich versucht zu substituieren [mm] u=x^3, [/mm] aber da komme ich auch nicht weiter...
ich denke mal, man müsste was anderes machen, wahrscheinlich irgendwelche kriterien? hoffentlich könnt ihr mir weiter helfen..ich bedanke mich im vorraus für jegliche tips und hilfen..ich entschuldige mich auch für unordnung etc, bin hier zum ersten mal ;)
mfg
cao
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Di 10.04.2007 | | Autor: | sara_20 |
Hallo,
ich sage dir mal nur meine Methoden und Loesungen, also nicht die Konkrete Loesung des Integrals.
Zuerst,
[mm] (1+x^{3})=(x^{2}-x+1)(x+1)=\bruch{1}{3}(\bruch{2-x}{x^{2}-x+1}+\bruch{1}{x+1})
[/mm]
Nun loesen wir diese zwei Integrale.
Der zweite ist ja leicht.
Der erste:
[mm] x^{2}-x+1=(x-\bruch{1}{2})^{2}+\bruch{3}{4}
[/mm]
nun mit der substition: [mm] x-\bruch{1}{2}=t [/mm] bekommst du das Integral:
[mm] \bruch{\bruch{3}{2}-t}{t^{2}+\bruch{3}{4}}
[/mm]
Nun hast du wieder zwei Integrale. Den zweiten loest du
Mit der Supstition [mm] t^2=s
[/mm]
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Di 10.04.2007 | | Autor: | moscao |
hallo sara,
vielen dank nochmal für deine schnelle hilfe :D
ich habe mir das mal angeschaut.....ich muss sagen....wow...ich hätte das glaube ich nicht in 10 jahren hinbekommen, aus dem integral dann so etwas zu kreieren, fast alle schritte kann ich nachvollziehen, aber eine kleine frage hätte ich noch: wie kommt man auf diese zerlegung des bruches am anfang? gibts da welche tricks, oder muss man schon viel erfahrung haben? und wenn ich für den zweiten teil des integrals [mm] t^2=s [/mm] mache, hätte ich dann [mm] (x-1/2)^2=s, [/mm] wahrscheinlich nach x auflösen, aber
mir is leider nicht ersichtlich, welche vorteile ich davon ziehen kann =/
habe solche methoden leider noch nicht gelernt. wie dem auch sei, ich versuche mich schlau zu machen...
nochmals vielen dank
gruss
cao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
allgemein kannst du rationale Integranden immer mit der  Partialbruchzerlegung behandeln. In der MatheBank steht mit Beispielen erklärt, wie das allgemein durchzuführen ist.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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