Integral über Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 14.02.2009 | | Autor: | tibbery |
| Aufgabe | b)Im folgenden betrachten wir das Vektorfeld [mm] \vec{K} [/mm] (x,y,z)=(0, [mm] yz^3, [/mm] z) sowie die südliche Halbkugel
S= {(x,y,z)| [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le [/mm] 9, z [mm] \le [/mm] 0}
= {(x,y,z)| [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{r*cos \alpha sin \beta \\ r*sin \alpha sin \beta \\ r*cos \beta}, \beta \in [\bruch{\pi}{2}, \pi] [/mm] , [mm] \alpha \in [0,2\pi] [/mm] , r [mm] \in [/mm] [0,3]},
mit dem lokalen Volumenvergrößerungsfaktor [mm] r^2*sin \beta.
[/mm]
Berechnen Sie:
[mm] \integral_{}^{}\integral_{O}^{}{\vec{K} (x,y,z) d\vec{o}}
[/mm]
und
[mm] \integral_{}^{}\integral_{D}^{}{\vec{K}(x,y,z) d\vec{o}} [/mm]
mit nach außen gerichteter Normalen, wobei
O= {(x,y,z) | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 9, z<0} die gewölbte Oberfläche und
D= {(x,y,z)| [mm] x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 9, z=0} der Deckel von S ist. |
Hallo!
Bald steht die nächste Matheklausur an! Also wollte ich mich rechtzeitig ranmachen und die kleinen oder auch größeren Unwissenheiten ausmerzen... ;)
Ich habe zwar die Lösung der Aufgabe vor mir, dennoch sind einige Fragen offen.
In meiner Lösung werden zunächst die beiden Normalenvektoren
[mm] \vec{x_{\beta}} [/mm] und [mm] \vec{x_{\alpha}} [/mm] gebildet. Warum nicht der partiell nach r abgeleitete? (Wir haben r=3 gesetzt und r in der Integration nicht mehr berücksichtigt, da die untere Grenze ja 0 wäre und das somit einfach wegfiele. Überall wo r auftaucht wurde gleich 3 eingesetzt. Hat das damit etwas zu tun?)
Dann bilde ich das Kreuzprodukt aus diesen beiden Normalenvektoren. Je nachdem wie ich sie kreuze erhalte ich einen Vektor nach "innen" oder nach "außen". Anscheinend wurde der nach außen gesucht. Warum? Woher weiß ich,welcher nach innen oder nach außen zeigt?
Zum Deckel:
In meiner Lösung steht: [mm] \vec{K}(x,y,z)=(0,0,0,) [/mm] wieso das denn??
Dann: [mm] \integral_{}^{}\integral_{D}^{}{\vec{K} d\vec{o}} [/mm] =O
aha? Das hat wohl was mit dem (0,0,0,) von eben zu tun?
Tja. Das war es vorerst. Vermutlich kann man daraus sehen, dass ich absolut keine Ahnung von der Thematik habe! Macht nichts, ich will ja nur bestehen ;)
Danke im Vorraus!
Juliane
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> Hallo!
Hey!
> Bald steht die nächste Matheklausur an! Also wollte ich
> mich rechtzeitig ranmachen und die kleinen oder auch
> größeren Unwissenheiten ausmerzen... ;)
Gute Einstellung 
> Ich habe zwar die Lösung der Aufgabe vor mir, dennoch sind
> einige Fragen offen.
> In meiner Lösung werden zunächst die beiden
> Normalenvektoren
>
> [mm]\vec{x_{\beta}}[/mm] und [mm]\vec{x_{\alpha}}[/mm] gebildet. Warum nicht
> der partiell nach r abgeleitete? (Wir haben r=3 gesetzt und
> r in der Integration nicht mehr berücksichtigt, da die
> untere Grenze ja 0 wäre und das somit einfach wegfiele.
> Überall wo r auftaucht wurde gleich 3 eingesetzt. Hat das
> damit etwas zu tun?)
Du betrachtest ja die Oberfläche der Kugel und nicht das komplette Innere der Kugel. Die Kugeloberfläche hat jedoch in Kugelkoordinaten immer einen konstanten Radius, in deinem Falle 3.
>
> Dann bilde ich das Kreuzprodukt aus diesen beiden
> Normalenvektoren. Je nachdem wie ich sie kreuze erhalte ich
> einen Vektor nach "innen" oder nach "außen". Anscheinend
> wurde der nach außen gesucht. Warum? Woher weiß ich,welcher
> nach innen oder nach außen zeigt?
>
Das liegt an der sogenannten "Rechten-Hand-Regel", diese sagt dir in welche Richtung der Vektor des Kreuzproduktes zeigt. Dazu musst du dir natürlich vorher überlegen, wohin [mm] x_{\alpha} [/mm] und [mm] x_{\beta} [/mm] zeigen.
>
> Zum Deckel:
>
> In meiner Lösung steht: [mm]\vec{K}(x,y,z)=(0,0,0,)[/mm] wieso das
> denn??
Weil beim Deckel gilt: [mm] $z\equiv [/mm] 0$. (Ist dir das klar?) Setze dann dieses z dochmal in dein Vektorfeld ein.
> Dann: [mm]\integral_{}^{}\integral_{D}^{}{\vec{K} d\vec{o}}[/mm]
> =O
>
> aha? Das hat wohl was mit dem (0,0,0,) von eben zu tun?
Ja, ein Integral über den Integranden 0 ist stets 0.
>
> Tja. Das war es vorerst. Vermutlich kann man daraus sehen,
> dass ich absolut keine Ahnung von der Thematik habe! Macht
> nichts, ich will ja nur bestehen ;)
> Danke im Vorraus!
> Juliane
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 16.02.2009 | | Autor: | tibbery |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Auf die Sache mit dem Deckel hätte ich gut selbst kommen können ;)
Das mit der Kugeloberfläche habe ich allerdings noch nicht so ganz verstanden.
Ich bilde das Kreuzprodukt - in Ordnung. Rechte Handregel ... kenne ich noch aus Physik? *hust* Irgendwie habe ich noch im Hinterkopf mal gehört zu haben, dass der Vektor nach außen zeigen MUSS (vielleicht verwechsle ich das aber auch), aber wieso ist das so? Und woher weiß ich in welche Richtungen meine beiden Normalvektoren zeigen?
Als mein Professor die Aufgabe vorrechnete, fuchtelte er mit den Händen vor der Tafel herum und hat auch irgendetwas von Rechte-Handregel gesagt, leider hat es niemand verstanden und kurz darauf meinte er auch: "..aber das brauchen Sie ja auch garnicht!" - Die Begründung kam dann leider nicht.
Wie gesagt, ich hab keine Ahnung vom Thema (denn ich war nie bei den Vorlesungen) und ich will das auch nur bestehen. Allerdings, so GAR keine Ahnung haben, das widerstrebt mir dann doch irgendwie ;)
Danke!
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> Das mit der Kugeloberfläche habe ich allerdings noch nicht
> so ganz verstanden.
> Ich bilde das Kreuzprodukt - in Ordnung. Rechte Handregel
> ... kenne ich noch aus Physik? *hust* Irgendwie habe ich
> noch im Hinterkopf mal gehört zu haben, dass der Vektor
> nach außen zeigen MUSS (vielleicht verwechsle ich das aber
> auch), aber wieso ist das so?
eigentlich reine Konventionssache
> Und woher weiß ich in welche
> Richtungen meine beiden Normalvektoren zeigen?
>
> Als mein Professor die Aufgabe vorrechnete, fuchtelte er
> mit den Händen vor der Tafel herum und hat auch irgendetwas
> von Rechte-Handregel gesagt, leider hat es niemand
> verstanden und kurz darauf meinte er auch: "..aber das
> brauchen Sie ja auch garnicht!" - Die Begründung kam dann
> leider nicht.
Hallo Julia,
Für diese Aufgabe braucht man wirklich kein Vektorprodukt,
denn die Normalenvektoren einer Kugelfläche zeigen einfach
radial nach aussen. Da der Kugelmittelpunkt im Nullpunkt
liegt, ist es besonders einfach: Im Kugelpunkt $\ P(x/y/z)$ ist
der Ortsvektor [mm] \vec{r}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] selbst ein nach aussen zeigender
Normalenvektor. Dividiert man ihn durch seinen Betrag, hat
man einen Normalen-Einheitsvektor [mm] \vec{n}_e [/mm] .
Wenn du es trotzdem mit dem Kreuzprodukt machen willst
(bei anderen Flächen braucht man das natürlich, und allemal
ist das eine gute Vorstellungsübung !), zeichne dir zuerst mal
eine Kugel. Im Mittelpunkt der Kugel - nehmen wir als Modell
die Erdkugel - ist der Nullpunkt des x-y-z-Systems. Die x-Achse
stösst im Punkt mit geogr. Länge = geogr. Breite = 0 durch die
Meeresoberfläche (im Golf von Guinea), die y-Achse über einem
untermeerischen Gebirge westlich von Sumatra und die z-Achse
am Nordpol. Der Winkel [mm] \alpha [/mm] ist die geografische (östl.) Länge,
die nach Osten hin zunimmt. [mm] \beta [/mm] ist gleich 90°-(nördl.) Breite.
Am Nordpol ist [mm] \beta=0\,, [/mm] am Äquator [mm] \beta=\bruch{\pi}{2}\,, [/mm] am Südpol [mm] \beta=\pi.
[/mm]
[mm] \beta [/mm] nimmt also nach Süden hin zu. Jetzt nimm mal den Ortsvektor
$\ [mm] \vec{r}\,(\alpha,\beta)\ =\,\vektor{x\\y\\z}\,=\,\vektor{r*cos \alpha sin \beta \\ r*sin \alpha sin \beta \\ r*cos \beta}$
[/mm]
und berechne seine partiellen Ableitungen [mm] \vec{r}_{\alpha} [/mm] und [mm] \vec{r}_{\beta} [/mm] .
Diese Vektoren kannst du dir so vorstellen: In einem Punkt P
der Erdoberfläche zeigt [mm] \vec{r}_{\alpha} [/mm] nach Osten und [mm] \vec{r}_{\beta} [/mm] nach Süden.
Nun kannst du dir klar machen, in welcher Reihenfolge du
diese Vektoren "kreuzen" musst, um einen Vektor zu er-
halten, der nach aussen (in den Weltraum) zeigt. Berechne
dieses Vektorprodukt. Dann kannst du sehen, dass
[mm] $\vec{r}_{\alpha}\times\vec{r}_{\beta}\ [/mm] =\ [mm] \vec{r}*sin(\beta)\,=\ r^2*sin(\beta)*\vec{n}_e$ [/mm] ,
wobei [mm] \vec{n}_e [/mm] der nach aussen zeigende Normalen-Einheitsvektor ist.
Nebenbei wird damit auch noch klar, was mit dem "lokalen
Volumenvergrößerungsfaktor [mm] r^2*sin(\beta) [/mm] " gemeint war.
Er gibt an, mit welchem Faktor man das Produkt [mm] d\alpha*d\beta
[/mm]
multiplizieren muss, um das entsprechende Flächenelement
$\ dO$ zu bekommen. Vektoriell gilt für das [mm] d\,\overrightarrow{O} [/mm] in deinen
Integralen:
$\ [mm] d\,\overrightarrow{O}\ [/mm] =\ [mm] \vec{r}_{\alpha}\times\vec{r}_{\beta}*d\alpha*d\beta$
[/mm]
oder skalar betrachtet:
$\ dO\ =\ [mm] r^2*sin(\beta)*d\alpha*d\beta$
[/mm]
Mit dieser Formel kann man den Flächeninhalt eines kleinen
durch Längen- und Breitenkreise begrenzten "Kugelrechtecks"
approximativ berechnen. Beispiel: Der "rechteckige" amerika-
nische Staat Colorado reicht von [mm] \alpha=-109° [/mm] bis [mm] \alpha=-102° [/mm] und von
[mm] \beta=49° [/mm] bis [mm] \beta=53°. [/mm] Seinen Flächeninhalt kann man jetzt folgen-
dermassen approximativ berechnen:
$\ [mm] A_{Colorado}\approx r^2*sin(\overline{\beta})*\Delta_{\alpha}*\Delta_{\beta}\ [/mm] =\ (6371 [mm] km)^2*sin(51°)*\bruch{7*\pi}{180}*\bruch{4*\pi}{180}$
[/mm]
Dies ergibt 269'048.5 [mm] km^2 [/mm] . In Wikipedia findet man für
die Fläche von Colorado den Wert 269'601 [mm] km^2 [/mm] . Der
Unterschied zwischen den beiden Werten hat damit zu
tun, dass sich über Distanzen wie die Ausmasse von
Colorado (Ost-West-Ausdehnung etwa 600 km) die
Krümmung der Erdoberfläche schon bemerkbar macht
und zum Teil auch damit, dass die Erde nicht exakt
kugelförmig ist.
So, war diese Erklärung etwas anders als das Herum-
gefuchtel des Profs ?
LG Al-Chw.
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