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| Aufgabe | | 12 [mm] \int_0^{\pi/2} cos^4(t) sin^2(t) [/mm] dt |
Das Integral kam bei mir bei einem Bsp zustande, nun möchte ich es berechnen.
Erste Idee war Substitution: 2u=t, 2du=dt
12 [mm] \int_0^{\pi/2} cos^4(t) sin^2 [/mm] (t) dt = 12 [mm] \int_0^{\pi/4} [/mm] 2 [mm] *cos^4(2u) sin^2(2u) [/mm] du= 6 [mm] \int_0^{\pi/4} sin^2(4u)cos^2 [/mm] (2u) du
Das Integral schaut nicht wirklich leichter aus.
Ich weiß : [mm] \int cos^2 [/mm] (x) dx = 1/2 (x+ sin(x) cos(x))
Partielle:
[mm] \int sin^2(4u)cos^2 [/mm] (2u) du =1/2 (u+ sin(u) cos(u)) [mm] *sin^2(2u) [/mm] - [mm] \int [/mm] 2*4 sin(4u)1/2 (u+ sin(u) cos(u)) du= 1/2 (u+ sin(u) cos(u)) [mm] *sin^2(2u) [/mm] - 4 [mm] \int [/mm] sin(4u) (u+ sin(u) cos(u))
Das wird nicht leichter... ;(
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Hallo theresetom,
> 12 [mm]\int_0^{\pi/2} cos^4(t) sin^2(t)[/mm] dt
> Das Integral kam bei mir bei einem Bsp zustande, nun
> möchte ich es berechnen.
>
> Erste Idee war Substitution: 2u=t, 2du=dt
> 12 [mm]\int_0^{\pi/2} cos^4(t) sin^2[/mm] (t) dt = 12
> [mm]\int_0^{\pi/4}[/mm] 2 [mm]*cos^4(2u) sin^2(2u)[/mm] du= 6 [mm]\int_0^{\pi/4} sin^2(4u)cos^2[/mm]
> (2u) du
> Das Integral schaut nicht wirklich leichter aus.
>
> Ich weiß : [mm]\int cos^2[/mm] (x) dx = 1/2 (x+ sin(x) cos(x))
> Partielle:
> [mm]\int sin^2(4u)cos^2[/mm] (2u) du =1/2 (u+ sin(u) cos(u))
> [mm]*sin^2(2u)[/mm] - [mm]\int[/mm] 2*4 sin(4u)1/2 (u+ sin(u) cos(u)) du= 1/2
> (u+ sin(u) cos(u)) [mm]*sin^2(2u)[/mm] - 4 [mm]\int[/mm] sin(4u) (u+ sin(u)
> cos(u))
> Das wird nicht leichter... ;(
Schreibe [mm]\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/mm] und du bekommst für das Integral
[mm]\int{\cos^4(x)\sin^2(x) \ dx} \ = \ \int{\cos^4(x) \ dx} \ - \ \int{\cos^6(x) \ dx}[/mm]
Und für die Integrale [mm]\int{\cos^n(x) \ dx}[/mm] gilt die Formel:
[mm]\int{\cos^n(x) \ dx} \ = \frac{\sin(x)\cos^{n-1}(x)}{n} \ + \ \frac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}(x) \ dx}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo theresetom,
hier noch ein anderer Ansatz:
> 12 [mm]\int_0^{\pi/2} cos^4(t) sin^2(t)[/mm] dt
> Das Integral kam bei mir bei einem Bsp zustande, nun
> möchte ich es berechnen.
Mit den Additionstheoremen (I) [mm] \sin{(2t)}=2\sin{(t)}\cos{(t)}
[/mm]
und (II) [mm] \cos{(2t)}=\cos^2{(t)}-\sin^2{(t)}=2\cos^2{(t)}-1\Rightarrow \cos^2{(t)}=\bruch{1}{2}(1+\cos{(2t)})
[/mm]
folgt
[mm] \int\cos^4{(t)}\sin^2{(t)}dt=\int\cos^2{(t)}*\bruch{1}{4}\sin^2{(2t)}dt=\int\bruch{1}{2}(1+\cos{(2t)})*\bruch{1}{4}\sin^2{(2t)}dt=\bruch{1}{8}\int\sin^2{(2t)}dt+\bruch{1}{8}\int\cos{(2t)}\sin^2{(2t)}dt
[/mm]
Das linke Integral geht bekanntlich mit partieller Integration, für das rechte substituiert man einfach [mm] u=\sin{(2t)}.
[/mm]
So kriegst Du es auch hin, wenn Dir die Rekursionsformel für Cosinuspotenzen gerade nicht einfällt oder vorliegt. 
Grüße
reverend
> Erste Idee war Substitution: 2u=t, 2du=dt
> 12 [mm]\int_0^{\pi/2} cos^4(t) sin^2[/mm] (t) dt = 12
> [mm]\int_0^{\pi/4}[/mm] 2 [mm]*cos^4(2u) sin^2(2u)[/mm] du= 6 [mm]\int_0^{\pi/4} sin^2(4u)cos^2[/mm]
> (2u) du
> Das Integral schaut nicht wirklich leichter aus.
>
> Ich weiß : [mm]\int cos^2[/mm] (x) dx = 1/2 (x+ sin(x) cos(x))
> Partielle:
> [mm]\int sin^2(4u)cos^2[/mm] (2u) du =1/2 (u+ sin(u) cos(u))
> [mm]*sin^2(2u)[/mm] - [mm]\int[/mm] 2*4 sin(4u)1/2 (u+ sin(u) cos(u)) du= 1/2
> (u+ sin(u) cos(u)) [mm]*sin^2(2u)[/mm] - 4 [mm]\int[/mm] sin(4u) (u+ sin(u)
> cos(u))
> Das wird nicht leichter... ;(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Sa 26.01.2013 | | Autor: | theresetom |
Danke euch ;)
Auch die zweite Methode hilft mir sehr, da ich in der Prüfung auch nicht die Formel auswendig weiß und die Additionstheoreme sind ja meisten schon im Kopf;)
Lg
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