Integral sinh(x)cosh(x) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{sinh(x)*cosh(x) dx} [/mm] |
Ich steh sowas von aufm Schlauch; helft mir ganz kurz (und knapp):
Warum ist das Integral = cosh²(x)/2 ? Ich sehs nicht, hab aber das Gefühl direkt davor zu stehn...
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> [mm]\integral_{a}^{b}{sinh(x)*cosh(x) dx}[/mm]
> Ich steh sowas von
> aufm Schlauch; helft mir ganz kurz (und knapp):
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> Warum ist das Integral = cosh²(x)/2 ? Ich sehs nicht, hab
> aber das Gefühl direkt davor zu stehn...
Hi,
Die Ableitung von [mm] $\cosh [/mm] x$ ist [mm] $\sinh [/mm] x$ und die von [mm] $\sinh [/mm] x$ ist [mm] $\cosh [/mm] x$. Jetzt leite doch mal nach der Kettenregel ab mit [mm] $u(x)=\cosh [/mm] x$ und [mm] $v(x)=\bruch{1}{2}\left[u(x)\right]^2$. [/mm] Das Integral selbst berechnen kannst du entweder mittels partieller Integration oder du drückst die Hyp.-Funktionen durch die $e$-Funktion aus.
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
ja klar, danke ;)
partielle Integration und es steht sofort da...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
was ist eigentlich wenn ich beim partiellen Integrieren u'=cosh(x) und v=sinh(x) wähle?
dann steht da doch: (nach den partiellen Integrationsregeln: uv - I(uv'))
[mm] \integral_{}^{}{sinh(x)*cosh(x) dx} [/mm] = sinh²(x) - [mm] \integral_{}^{}{cosh(x)*sinh(x) dx} [/mm] also ... = sinh²(x)/2
das ist doch nicht das gleiche?! Wo war der Fehler?
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> was ist eigentlich wenn ich beim partiellen Integrieren
> u'=cosh(x) und v=sinh(x) wähle?
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> dann steht da doch: (nach den partiellen
> Integrationsregeln: uv - I(uv'))
>
> [mm]\integral_{}^{}{sinh(x)*cosh(x) dx}[/mm] = sinh²(x) -
> [mm]\integral_{}^{}{cosh(x)*sinh(x) dx}[/mm] also ... = sinh²(x)/2
>
> das ist doch nicht das gleiche?! Wo war der Fehler?
Doch, das ist es! Wenn du mal sowohl [mm] $\bruch{\cosh^2 x}{2}$ [/mm] als auch [mm] $\bruch{\sinh^2 x}{2}$ [/mm] ableitest, siehst du, dass es beides dasselbe ergibt. Es kommt ganz darauf an, wie du $u'$ und $v$ wählst!
Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Sax |
Genau!
Du hast nämlich keinen Fehler gemacht sondern zwei Stammfunktionen gefunden, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden, weil ja (cosh [mm] x)^{2} [/mm] - (sinh [mm] x)^{2} [/mm] = 1 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
klarer gehts nicht. Ihr habt ja so recht. Es MUSS ja das gleiche sein... :D
Vielen Dank!
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