Integral ohne Stammfkt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 09.05.2011 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] |
Diese Aufgabe soll ich ohne Stammfunktion lösen.
Mit wäre es ja ziemlich einfach.
Ohne weiß ich gerade nicht weiter =/
Ich habe bereits ein wenig probiert:O.B.d.A. x < y
[mm] \integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds}+\integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{s} ds}
[/mm]
oder
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] 2\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] + [mm] \integral_{x}^{y}{\bruch{1}{s} ds}
[/mm]
Also komme ich auf:
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] - [mm] \integral_{x}^{y}{\bruch{1}{s} ds}
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{y}^{xy}{\bruch{1}{s} ds}
[/mm]
Ich komme außerdem auf:
[mm] \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{s} ds}
[/mm]
Es hat also den Anschein, als ob ich quasi "kürzen" könnte wenn es sich um [mm] \bruch{1}{s} [/mm] handelt.
Wie zeige ich das?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] \integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] $
Was exakt ist hier die Aufgabe? Die Gleichung stimmt für $x,y>0$, aber sonst ist dazu nicht viel zu sagen.
Oder sollst Du die Stammfunktion finden, ohne zu "wissen", was rauskommt?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 09.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Die Aufgabe ist es diese Gleichung zu zeigen ohne die Stammfunktion zu benutzen.
Dass da log(xy)=logx + logy steht weiß ich auch. Soll ich aber nicht benutzen.
Lediglich Substitution und Umformungen im Integral.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Oh, ja. Stand etwas auf dem Schlauch.
Ich weiß nicht, ob das im Sinne des Erfinders ist, aber aus der Funktionengleichung
$F(xy)=F(x)+F(y)$
$F(1)=0$
folgt unmittelbar, daß [mm] $F(x)=\ln(x)$ [/mm] (bis auf Konstante).
Du verwendest hier nicht die Stammfunktion. Du zeigst nur, daß [mm] $\ln$ [/mm] die einzige Funktion ist, die die geforderte Eigenschaft erfüllt. Danach kannst Du --Überraschung-- ableiten und siehst, daß [mm] $F'(x)=\frac [/mm] 1x$. =)
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Und sicher mehr im Sinne des Erfinders:
> $ [mm] \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] $
Substituier hier links mal geeignet, so daß die Grenzen übereinstimmen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:41 Di 10.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Das klingt schonmal besser ;)
Aber leider keine Ahnung wie das geht :D
g(x) müsste 1 sein und g(xy) = y
Also ist g(x)=1/x oder?
Also ist f(x) = x und g(x) = 1/x dann komme ich mit f(g(x)) auf 1/x aber was mache ich mit der inneren Ableitung?
Oder würfle ich jetzt alles falsch zusammen?
Aber schonmal Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Di 10.05.2011 | | Autor: | Blech |
?
Du führst links die Substitution
[mm] $z:=\frac [/mm] sx$
durch. Wie in der Schule.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Für x,y>0 setze
$F(x,y):= [mm] \integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{s} ds} [/mm] $
Zeige: grad F(x,y)=(0,0) für jedes $(x,y) [mm] \in G:=\{(x,y) \in \IR^2: x,y>0\}$
[/mm]
Da G ein Gebiet ist, folgt: F ist auf G konstant. Weiter ist F(1,1)=0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 10.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Leider hatten wir Grad und Gebiet noch nicht.
Wie ginge es denn mit Substitution?
Vielen Dank
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> Wie ginge es denn mit Substitution?
Nach deiner ersten Umformung
[mm] $\integral_{1}^{x*y}\frac{1}{s}\,ds\ [/mm] =\ [mm] \integral_{1}^{x}\frac{1}{s}\,ds\ [/mm] +\ [mm] \integral_{x}^{x*y}\frac{1}{s}\,ds$
[/mm]
ist ja nur noch zu zeigen, dass
[mm] $\integral_{x}^{x*y}\frac{1}{s}\,ds\ [/mm] =\ [mm] \integral_{1}^{y}\frac{1}{s}\,ds$
[/mm]
Hier empfiehlt es sich einmal, die Integrationsvariable
in einem der Integrale umzutaufen, also etwa:
[mm] $\underbrace{\integral_{x}^{x*y}\frac{1}{t}\,dt}_L\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{\integral_{1}^{y}\frac{1}{s}\,ds}_R$
[/mm]
Nun machen wir - im Integral der linken Seite - die
Substitution $\ t:=x*s$ . Dabei spielt $\ x$ für diesen
Zweck die Rolle einer Konstanten, da $\ x$ ja im Integranden
überhaupt nicht auftritt !
Damit haben wir also für die Substitution:
$\ t=x*s$ und $\ dt=x*ds$
Eingesetzt:
$\ L\ =\ [mm] \integral_{x}^{x*y}\frac{1}{x*s}\,*\,x*ds$
[/mm]
$\ =\ [mm] \integral_{t=x}^{t=x*y}\frac{1}{s}\ [/mm] ds\ =\ [mm] \integral_{s=1}^{s=y}\frac{1}{s}\ [/mm] ds\ =\ R$
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Leider hatten wir Grad und Gebiet noch nicht.
...................als Mathe-Student im Hauptstudium ............. ???
FRED
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> Wie ginge es denn mit Substitution?
>
> Vielen Dank
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