Integral mit hoch x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 So 23.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Lösen Sie das unbestimmte Integral [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{e^x+1}{e^x+e^-^x} dx} [/mm] für x [mm] \in [/mm] R
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Hallo,
als erstes hbe ich das Integral in 2 Teilintegrale zerlegt:
Integral I: [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{e^x}{e^x+e^-^x} dx} [/mm] und Integral [mm] A:\integral_{}^{}{ \bruch{1}{e^x+e^-^x} dx} [/mm]
___________________________________________
Lösung Integral I:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{e^x}{e^x+e^-^x} dx}= e^x(e^x+e^{-x}) [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^x(e^x-e^{-x}) dx}
[/mm]
______________________________________
Lösung Integral II:
[mm] \integral_{}^{}{e^x(e^x-
e^{-x}) dx}= e^x(e^x-e^{-x})-\integral_{}^{}{e^x(e^x+e^{-x}) dx}
[/mm]
______________________________________
Lösung Integral III:
[mm] \integral_{}^{}{e^x(e^x+e^{-x}) dx}=e^x(e^x+e^{-x}) -\integral_{}^{}{e^x(e^x-e^{-x}) dx}
[/mm]
____________________________________
Integral iV:
[mm] \integral_{}^{}{e^x(e^x-e^{-x}) dx} [/mm] = Integral II
[mm] \vdots
[/mm]
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Wer ist so nett und überprüft die Rechnung einmal? Wie kann ich die Teilergebnisse geschickt zusammenfassen???
_____________________________________
Nun zum Teilintegral A.
Lösung Teilintegral A:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{e^x+e^-^x} dx}=x*(e^x-e^{-x})-\integral_{}^{}{x(e^x+e^{-x}) dx}
[/mm]
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Lösung Teilintegral B:
[mm] \integral_{}^{}{x(e^x+e^{-x}) dx}= \bruch{x^2}{2}*(e^x+e^{-x})- \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{x^2(e^x-e^{-x}) dx} [/mm]
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Lösung Teilintegral C:
[mm] \integral_{}^{}{x^2(e^x-e^{-x}) dx}= \bruch{x^3}{3}*(e^x+e^{-x})-\bruch{1}{3}\integral_{}^{}{x^3(e^x+e^{-x}) dx}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
______________________________________________
Beim zusammenfassen der Teilintegrale faule ich ab.
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg???
Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Viele Grüße
didi_160
[mm] \vdots
[/mm]
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> Lösung Integral I:
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{e^x}{e^x+e^-{x}} dx}= e^x(e^x+e^{-x})[/mm]
> - [mm]\integral_{}^{}{e^x(e^x-e^{-x}) dx}[/mm]
Unterschlägst du hier nicht schon den Exponenten -1?
[mm] $\bruch{e^x}{e^x+e^{-x}}=(e^x)*(e^x+e^{-x})^{\red{-1}}$
[/mm]
das ist mir so schon aufgefallen, daher macht es erstmal keinen Sinn, noch weiter zu kontrollieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 23.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Danke für deinen Tipp. Das mit dem -1 habe verrasselt.
Damit gilt:
[mm] \integral_{}^{}{ (e^x+1)(e^x+e^{-x})^{-1} dx}= (e^x+x)(e^x+e^{-x})^{-1} +\integral_{}^{}{ \bruch{(e^x-x)(e^x+e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^{2}}}dx
[/mm]
Wie aber jetzt weiter??? Ich kann nicht erkennen dass das Integral überschaubarer wird.
Viele Grüße
didi-_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 23.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Mir ist hier gerade Dein Rechenweg unklar ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gehst Du hier mit partieller Integration vor? Lies Dir mal meinen Tipp unten durch und substituiere mal anschließend:
$z \ := \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{e^x}$
[/mm]
Damit ergibt sich also folgendes Integral:
[mm] $\integral{\bruch{e^x+1}{e^x+e^{-x}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{e^x*\left(e^x+1\right)}{e^{2x}+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{e^x*\left(z+1\right)}{z^2+1} \ \bruch{dz}{e^x}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{z+1}{z^2+1} \ dz} [/mm] \ = \ ...$
Nun diesen Bruch in zwei Teilbrüche [mm] $\bruch{z}{z^2+1}+\bruch{1}{1+z^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2z}{z^2+1}+\bruch{1}{1+z^2}$ [/mm] zerlegen.
Ist der weitere Weg nun klar?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 23.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deinen Tipp. Ohne deine Hilfe wäre ich nicht klar gekommen.
Also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z+1}{z^2+1} dz} =\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1}dz} +\bruch{1}{2z} \integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1}dz}
[/mm]
______________________________
Lösung nur des Integrals im 1. Summanden:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1} dz}= [/mm] ln|2z|+C
_________________________________
Lösung nur des Integrals im 2. Summanden:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1} dz}= [/mm] ln|2z|+C
______________________________________
Nach Rücksubst. [mm] z=e^x [/mm] erhalte ich die Lösung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^x+1}{e^x+e^{-1}}dx}= \bruch{1}{2}*[1+ \bruch{1}{e^x}]*ln|2*e^x|+C
[/mm]
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Wirfst du bitte noch mal eine Blick auf die Lösung??
Würde mich sehr freuen wenn die Lösung richtig wäre.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Mo 24.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Didi
> Hallo,
> besten Dank für deinen Tipp. Ohne deine Hilfe wäre ich
> nicht klar gekommen.
> Also:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{z+1}{z^2+1} dz} =\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1}dz} +\bruch{1}{2z} \integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1}dz}[/mm]
>
Im 2. Integral hast du 1/z aus dem Integral gezogen! wenn es so einfach waere, koenntest du ja gleich jede fkt von z aus dem Integral rausziehen und waerst fertig! Also leider nochmal!______________________________
> Lösung nur des Integrals im 1. Summanden:
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1} dz}=[/mm] ln|2z|+C
>
Auch das ist falsch! differenzier doch mal rasch dein Ergebnis! Dann siehst du was falsch ist!_________________________________
> Lösung nur des Integrals im 2. Summanden:
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{2z}{z^2+1} dz}=[/mm] ln|2z|+C
> ______________________________________
Ware entsprechend falsch!
> Nach Rücksubst. [mm]z=e^x[/mm] erhalte ich die Lösung:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^x+1}{e^x+e^{-1}}dx}= \bruch{1}{2}*[1+ \bruch{1}{e^x}]*ln|2*e^x|+C[/mm]
>
> _____________________________________
> Wirfst du bitte noch mal eine Blick auf die Lösung??
> Würde mich sehr freuen wenn die Lösung richtig wäre.
Leider keine Freudenbotschaft aber vielleicht beim naechsten Anlauf!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 Mo 24.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deine Nachricht.
Ich weiß einfach nicht wie ich das Integral [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{z^2+1}}{ dz} [/mm] lösen soll.
Den Faktor 1/2z vor das Integral zu ziehen, war eine Verzweiflungstat von mir. Der Gedanke war, den ursprünglichen Integranden mit 2z zu erweitern um den Integranden auf die Form [mm] \bruch{\varphi(x)}{\varphi'(x)} [/mm] zu bringen, um danach die Substitutionsmethode anwenden zu können.
Der ursprüngliche Integrand hat weder die Form [mm] \bruch{\varphi(x)}{\varphi'(x)} [/mm] noch [mm] \varphi(x)*\varphi'(x). [/mm] Mit partieller Integration bin ich auch nicht weiter gekommen.
Hast du noch eine Idee?
P.S: Den Fehler in 1. Integral habe ich gefunden.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo didi!
Bei dem Integral $\integral{\bruch{1}{1+z^2} \ dz}$ handelt es sich um ein Standardintegral, das man auch in jeder Formelsammlung findet mit:
$\integral{\bruch{1}{1+z^2} \ dz \ = \ \arctan(z)+C$
Es lässt sich auch zu Fuß mittels Substitution $z \ := \ \tan(t)$ $\Rightarrow$ $z' \ = \ \bruch{dz}{dt} \ = \ 1+\tan^2(t)$ lösen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 So 23.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Um dieses Integral zu lösen, solltest Du den Bruch erstmal mit dem Term [mm] $e^x$ [/mm] erweitern, um im Nenner das [mm] $e^{\red{-}x}$ [/mm] zu eliminieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 23.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für deinen Tipp:
[mm] Also:\integral_{}^{}{(e^{2x}+e^x)(e^{2x}+1)^{-1} dx}= (\bruch{1}{2}*e^{2x}+e^x)(e^{2x}+1)^{-1}+\integral_{}^{}{[2e^{2x}(e^{2x}+1)]^{-2}*[ \bruch{1}{2}*e^{2x}+e^x]}dx
[/mm]
Ich könnte noch 2 gegen 1/2 kürzen. Ich habe es bewußt nicht gemacht. Aber jetztt bin ich mit meinem Latein am Ende. Kann nicht erkennen, dass das Integral überschaubarer wird.
Viele Grüße
didi_160
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