Integral mit delta-Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 02.01.2011 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | | Berechne [mm] $\int _{-\infty}^\infty \delta((x-5)^2-15)\cdot [/mm] x\ [mm] \mathrm [/mm] d x$ |
Hallo,
also zuerst einmal sind [mm] $x_1 [/mm] = [mm] 5+\sqrt{15}$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = [mm] 5-\sqrt{15}$ [/mm] die Nullstellen der Funktion [mm] $f(x):=(x-5)^2-15$.
[/mm]
Die Delta-Funktion ist nur dann ungleich null, wenn ihr Argument null ist, d.h. bei diesen beiden Nullstellen.
Gilt dann für das Integral:
[mm] $\int _{-\infty}^\infty \delta((x-5)^2-15)\cdot [/mm] x\ [mm] \mathrm [/mm] d x = [mm] 5+\sqrt{15} [/mm] + [mm] (5-\sqrt{15}) [/mm] = 10$ ?
Ich bin mir da leider unsicher.
Es wäre schön, wenn ihr mir sagen könnt, ob das richtig oder falsch ist.
Ich wünsche allen ein gutes neues Jahr!
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 02.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kevin,
Die Delta-Funktion wirkt wie ein Siebfilter und lässt nur die Argumente durch, die durch ihre Nullstellen gegeben sind. Das sind die beiden von Dir ausgerechneten Werte und aus der Integration wird eine Summation. Insofern ist Dein Ergebnis okay.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 02.01.2011 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo Infinit,
danke für die Antwort.
Ich dachte auch, dass mein Ergebnis richtig ist, aber die Berechnung des Integrals mit dem Computeralgebrasystem Mathematica von Wolfram Research bietet Grund zur Unsicherheit:
Nachdem ich folgenden Code eingegeben habe:
Integrate[DiracDelta[(x - 5) ^2 - 15]*x, {x, -Infinity, Infinity}]
erscheint als Ergebnis nicht 10, sondern:
Sqrt[5/3] .
Wie kann das sein?
Gruß,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 02.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Das ist nicht so trivial wie man meint mit der Delta Funktion! Die Fläche unter der Delta Distribution sollte stets 1 sein.
Es ist schliesslich (was man allgemein wissen sollte wenn man damit rechnet):
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{ \delta(a*x)*1 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|a|} \not= [/mm] f(0) = 1
Damit folgt mit deiner Aufabe:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{ \delta((x-\wurzel{15}-5)*(x-5+\wurzel{15}))*x dx} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{15} + 5}{2*\wurzel{15}} [/mm] + [mm] \bruch{-\wurzel{15} + 5}{2*\wurzel{15}} [/mm] = Dein Ergebnis
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 So 02.01.2011 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
vielen Dank, aber könntest du mir noch kurz sagen, wie man auf das $2 [mm] \cdot \sqrt{15}$ [/mm] im Nenner kommt?
Gruß,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 So 02.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm]\delta(g(x))=\summe_{i=1}^{n}\bruch{ \delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}[/mm]
mit [mm] x_i [/mm] nst. von g(x) der Grund ist, dass man ja g(x)in der nähe einer Nst als [mm] (x-x_i)*g'(x_i) [/mm] schreiben kann und damit die regel für [mm] \delta(ax) [/mm] anwenden.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 02.01.2011 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
gut, danke - ich hab das selbe soeben bei Wikipedia nachgelesen 
Viele Grüße,
Kevin
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