Integral mit Residuum lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 So 25.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
ich soll [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \bruch{x*sin(x)}{x^2-2x+10}\, dx=\int_{-\infty}^{\infty} \bruch{x*sin(x)}{(x-1-3i)(x-1+3i)}\,dx [/mm] mit der Residuenmethode lösen.
[mm] \bruch{z*sin(z)}{(z-1-3i)}=\bruch{(1-3i)*sin(1-3i)}{(1-3i-1-3i)}=\bruch{(1-3i)*sin(1-3i)}{-6i}=\bruch{(1-3i)*e^{i+3}-e^{-i-3}}{12}=?
[/mm]
Wie komme ich hier weiter?
Ich möchte eine eindeutige Aussage treffen können, ob der Imaginärteil positiv oder negativ ist, damit ich weiß, welches Residuum ich mit [mm] 2\pi*i [/mm] multiplizieren kann.
Kann mir jemand helfen?
Gruß DerGraf
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Hallo Graf,
du hast doch den Nenner schon Faktorisiert. Für die Nullstellen des Nenners muss gelten [mm] $\Im [/mm] (z) > 0 $. Nicht für das Argument des Integrals. Klartext, du musst kucken ob [mm] $z_1 [/mm] = 3 i -1 $ oder [mm] $z_2 [/mm] = -3i -1$ einen positiven Imaginärteil haben, was sich ja nicht schwierig gestalten sollte 
Besten Gruß
Wunderbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 26.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für deine Antwort. Deinen Ausführungen zufolge, ist also 1-3i die Nullstelle, die ich brauche, da der [mm] z_1=-1+3i [/mm] einen positiven Imaginärteil hat.
Also muss ich nur noch
[mm] \bruch{(1-3i)\cdot{}e^{i+3}-e^{-i-3}}{12} [/mm] mit [mm] 2\pi*i [/mm] multiplizieren.
Doch meinen Aufzeichnungen zufolge wäre die Nullstelle an sich diejenige, welche einen positiven Imaginärteil haben soll, also 1+3i. Hab ich da jetzt etwas Falsches von der Tafel abgeschrieben?
Kann mich jemand erleuchten?
Gruß DerGraf
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> Vielen Dank für deine Antwort. Deinen Ausführungen zufolge,
> ist also 1-3i die Nullstelle, die ich brauche, da der
> [mm]z_1=-1+3i[/mm] einen positiven Imaginärteil hat.
Nein eben nicht. Bei der Faktorisierung hast du erhalten:
$(z-(3i-1)) [mm] \, [/mm] (z-(-3i-1)) = 0 $, also
ist [mm] $z_1 [/mm] = 3i-1$ und [mm] $z_2 [/mm] = -3i - 1$.
> Also muss ich nur noch
> [mm]\bruch{(1-3i)\cdot{}e^{i+3}-e^{-i-3}}{12}[/mm] mit [mm]2\pi*i[/mm]
> multiplizieren.
$(1-3i)$ hat einen negativen Imaginärteil. Dar Residuum muss von dem Pol mit positivem Imaginärteil berechnet werden.
>
> Doch meinen Aufzeichnungen zufolge wäre die Nullstelle an
> sich diejenige, welche einen positiven Imaginärteil haben
> soll, also 1+3i. Hab ich da jetzt etwas Falsches von der
> Tafel abgeschrieben?
Nein hast du nicht  siehe oben.
>
> Kann mich jemand erleuchten?
>
> Gruß DerGraf
Beste Grüße Wunderbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 26.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Dann habe ich dich also nur falsch verstanden :)
Ich habe dann nochmal für 1+3i gerechnet und bin auf [mm] -\bruch{(1+3i)\cdot{}e^{i-3}-e^{i+3}}{12} [/mm] als Residuum und auf [mm] -\pi*i\bruch{(1+3i)\cdot{}e^{i-3}-e^{i+3}}{6} [/mm] als Gesamtergebnis.
Stimmts jetzt?
Gruß DerGraf
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Bei solchen Integralen wandelt man das integral um in:
[mm] $\int_{- \infty}^{\infty} \, \frac{x \, \sin x}{x^2-2 \, x + 10} \, [/mm] dx = [mm] \text{Im} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \, e^{ix}}{x^2-2 \, x + 10} \right)$
[/mm]
berechnet dann das Integral und betrachtet danach nur den Imaginärteil des Ergebnisses.
Auf die schnelle komme ich so auf ein ergebnis für das Residuum von
$ [mm] Res_a [/mm] f = [mm] \frac{1}{2} \, e^{-3} \, \cos [/mm] 1 + [mm] \frac{1}{2} \, [/mm] i [mm] \, e^{-3} \, (\sin [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{3} \, e^i)$
[/mm]
und damit für das ursprüngliche Integral (also der Imaginärteil vom Produkt aus Residuum und $2 [mm] \, \pi \, [/mm] i$)
[mm] $\int [/mm] ... = [mm] \pi e^{-3} \, \cos [/mm] 1$
Bemerkung: Natürlich war es 3i+1 und nicht wie ich geschrieben habe 3i-1.
Beste Grüße
Wunderbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 26.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
[mm] \bruch{z\cdot{}sin(z)}{(z-1+3i)}=\bruch{(1+3i)\cdot{}sin(1+3i)}{(1+3i-1+3i)}=\bruch{(1+3i)\cdot{}sin(1+3i)}{6i}=-\bruch{(1+3i)\cdot{}(e^{i-3}-e^{-i+3})}{12}
[/mm]
Damit habe ich eigentlich streng nach unseren Rechenregeln gerechnet. Wo habe ich denn etwas falsch gemacht, denn das Ergebnis sieht ja irgendwie komplett anders aus als deines?
Bei deinem Lösungsweg verstehe ich schon das erste Gleichheitszeichen nicht.
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Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus
[mm] $e^{ia} [/mm] = [mm] \cos [/mm] a + i [mm] \, \sin [/mm] a$
Erkläre doch mal genauer, was du im einzelnen gemacht hast und welche Regel dahinter steckt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Mo 26.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Da meine zu untersuchende Nullstelle die Ordnung 1 hat, kann ich das Residuum mit Res [mm] cf=\lim_{z \to c}(z-c)f(z) [/mm] berechnen.
Eingesetzt ergibt dies gerade [mm] \bruch{z\cdot{}sin(z)}{(z-1+3i)}. [/mm] Anschließend habe ich meinen Punkt z eingesetzt und komme somit auf [mm] \bruch{(1+3i)\cdot{}sin(1+3i)}{(1+3i-1+3i)}=\bruch{(1+3i)\cdot{}sin(1+3i)}{6i}. [/mm] Jetzt habe ich für sin(z) [mm] \left( \bruch{1}{2i} \right)\left(e^{iz}-e^{-iz}\right) [/mm] eingesetzt und komme auf [mm] -\bruch{(1+3i)\cdot{}(e^{i-3}-e^{-i+3})}{12}. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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