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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:32 Fr 03.08.2007 | | Autor: | MatTom |
Hallo,
ich habe ein Problem bei der Lösung eines Integrals. Ausgangssituations ist folgendens Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{\sigma\wurzel{2\pi}}exp(-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2} dx}
[/mm]
Über die Substitutionsregel erhalte ich: [mm] (z=\bruch{x-\mu}{\sigma})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\sigma\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(z\sigma+\mu)exp(-\bruch{z^{2}}{2})\sigma dz}
[/mm]
Über die partielle Integration (den ersten Term vor dem Integral mal weggelassen) erhalte ich dann:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ln(z\sigma+\mu)\underbrace{exp(-\bruch{z^{2}}{2})}_{F=\wurzel{2\pi}}\sigma dz}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2\pi}ln(z\sigma+\mu) [/mm] - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\wurzel{2\pi}ln'(z\sigma+\mu)dz} [/mm]
(ich hab die Integrationsgrenzen nach dem ersten Term mal weggelassen)
und dies ist :
[mm] \wurzel{2\pi}ln(z\sigma+\mu) [/mm] - [mm] \wurzel{2\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{ln'(z\sigma+\mu)dz} [/mm]
was bedeutet, dass (unabhängig von den Integrationsgrenzen):
[mm] \wurzel{2\pi}ln(z\sigma+\mu) [/mm] - [mm] \wurzel{2\pi}ln(z\sigma+\mu) [/mm] = 0
Das kann aber irgendwie nicht stimmen. Ich weiß nicht wo der Fehler liegt, daher wäre ich euch/dir sehr dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet.
Viele Dank im Voraus
MatTom
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 03.08.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin MatTom,
zunaecht einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe etwas Schwierigkeiten, deine Frage zu verstehen, da der
Integrand nicht auf [mm] $(-\infty,+\infty)$ [/mm] definiert ist. Anders
ausgedrueckt: Du moechtest [mm] $\mbox{E}[\ln [/mm] X]$ bestimmen (sofern der
Erwartungswert existiert). Dabei ist $X$ normalverteilt mit [mm] $\mbox{E}[X]=\mu$ [/mm] und
[mm] $\mbox{Var}[X]=\sigma^2$. [/mm] Nun nimmt $X$ aber negative Werte an, so dass
[mm] $\ln [/mm] X$ nicht sinnvoll definiert ist...
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Fr 03.08.2007 | | Autor: | MatTom |
Also, ich hoffe ich hab jetzt den richtigen Antwortstrang erwischt (ist ein bisschen unübersichtlich wenn man gerade anfängt).
Ich weiß, dass der Logarithmus im negativen Bereich nicht definiert ist. Für die Integralgrenzen kann man auch xmin>=1 (oder auch 0)
und x max >1 ensetzen. Das Problem, ist dann jedoch, dass die Integration der Dichtefunktion der Normalverteilung nicht mehr hinhaut, da:
[mm] exp(-\bruch{z^{2}}{2}) [/mm] ja für das Integral von 0 bis [mm] \infty [/mm] den Term
[mm] (0,5\wurzel{2\pi}) [/mm] ergibt
(und da Symmetrie daher auch von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] (nur halt mal 2)
Das Problem ist daher folgerichtig, dass ich eine Normalverteilung habe die von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] reicht, ich aber dies auf eine Log-Funktion umlegen muss, die nur von 0 bis [mm] \infty [/mm] definiert ist.
Wenn man davon ausgeht, dass Die Normalverteilung zur Gänze (also rund 1) im Intervall xmin bis xmax liegt, müsste es dennoch klappen. Problem, ich weiß nicht wie ich dies implementieren kann, so dass sich die Normalverteilungsfkt. zu einem einfachen Term zusammenfassen lässt.
Dennoch, vielen Dank schon mal für die schnelle - erste - Antwort
Viele Grüße
MatTom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Fr 03.08.2007 | | Autor: | MatTom |
Zusatz:
In diesem Sinne müsste die Ausgangsgleichung eigentlich heißen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{ln(x)}{\sigma\wurzel{2\pi}}exp(-\bruch{1}{2}(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2} dx} [/mm]
wobei a >= 1 und b > a. Die Dichte der Normalverteilung sollte innerhalb dieser Grenzen annähernd 1 betragen.
D.h. der Log. sollte immer positiv sein.
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