Integral im mehrdimensionalen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 05.04.2009 | | Autor: | Jacek |
Hi,
ich habe Stochastik zu erledigen mit der Monte-Carlo Theorie.
Dabei ist:
I = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Fläche A ist: A = { (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b, 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] f(x)}
Rechteck R mit Eckpunkten (a,0), (b,0), (b,c), (a,c):
R= { (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b, 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] c} = [a,b] x [0,c]
So, meine Frage ist, wie ist das im mehrdimensionalen Raum [mm] \IR^{d}?
[/mm]
Ich habe die Funktion über den d-dimensionalen Einheitswürfel gegeben:
I = [mm] \integral_{[0,1)^{d}}^{}{f(x) dx}, [/mm] x = [mm] (x_{1},...,x_{d}) \in \IR^{d}
[/mm]
-> wie sieht dann mei´ne Fläche A aus und mein Rechteck R? kann mir da jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 So 05.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe Stochastik zu erledigen mit der Monte-Carlo
> Theorie.
> Dabei ist:
>
> I = [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Fläche A ist: A = { (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : a [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] b, 0
> [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(x)}
>
> Rechteck R mit Eckpunkten (a,0), (b,0), (b,c), (a,c):
> R= { (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : a [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] b, 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
c} =
> [a,b] x [0,c]
>
> So, meine Frage ist, wie ist das im mehrdimensionalen Raum
> [mm]\IR^{d}?[/mm]
> Ich habe die Funktion über den d-dimensionalen
> Einheitswürfel gegeben:
>
> I = [mm]\integral_{[0,1)^{d}}^{}{f(x) dx},[/mm] x =
> [mm](x_{1},...,x_{d}) \in \IR^{d}[/mm]
>
> -> wie sieht dann mei´ne Fläche A aus und mein Rechteck R?
> kann mir da jemand weiterhelfen?
Ne Flaeche bzw. ein Rechteck sind das sicher nicht. Eher ein Volumen und ein Quader; jeweils von der Dimension $d + 1$.
Machen wir das mal fuer $d = 2$.
Dann kannst du [mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x, y) dx dy$ ja als Volumen des Koerpers $A = [mm] \{ (x, y, z) \in \IR^3 \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le f(x, y) \}$ [/mm] auffassen. Und als Quader waehlst du halt $R = [mm] \{ (x, y, z) \in \IR^3 \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le c \} [/mm] = [0, [mm] 1]^2 \times [/mm] [0, c]$ mit $c$ gross genug so dass fuer alle $(x, y) [mm] \in [/mm] [0, [mm] 1]^2$ [/mm] gilt $0 [mm] \le [/mm] f(x, y) [mm] \le [/mm] c$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 05.04.2009 | | Autor: | Jacek |
danke euch.
ist denn dann für die dimension d, folgendes richtig?
A= [mm] {(x_{1},...,x_{d+1}) \in \IR^{d+1}| 0 \le x_{1} \le 1, ..., 0 \le x_{d} \le 1, 0 \le x_{d+1} \le f(x_{1},...,x_{d})}
[/mm]
R= [mm] {(x_{1},...,x_{d+1}) \in \IR^{d+1}| 0 \le x_{1} \le 1, ..., 0 \le x_{d} \le 1, 0 \le x_{d+1} \le c } [/mm] = [mm] [0,1]^{d} \times [/mm] [0,c] & c groß genug, dass für alle [mm] (x_{1},...,x_{d}) \in [0,1]^{d} [/mm] gilt 0 [mm] \le f(x_{1},...,x_{d}) \le [/mm] c
Noch eine Frage, wir haben immer ein geschlossenes Intervall in den echnungen. Jedoch habe ich beim Anfangsintegral 'nur' ein halboffenes Integral gegeben:
[mm] \integral_{[0,1)^{d}}^{}{f(x) dx} [/mm] , x = [mm] (x_{1},...,x_{d}) \in \IR^{d}
[/mm]
ist dieses dennoch bei den Ausführungen als geschlossenes Integral anzusehen??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 05.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was soll denn ein geschlossenes Integral sein? Ich kenn das hoechstens bei Kurvenintegralen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 05.04.2009 | | Autor: | Jacek |
geschlossen: [0,1]
offen: [0,1)
ich hoffe mir kann jemand sagen, ob meine 'lösung' richtig ist?
|
|
|
| |
|
Hi,
es ist bei Integralberechnungen egal, ob das Intervall abgeschlossen, offen oder halboffen ist. Ob du nun den Randpunkt mit reinnimmst oder nicht, hat auf das Integral keine Auswirkungen, denn einpunktige Mengen haben keine Ausdehnung.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 So 05.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> es ist bei Integralberechnungen egal, ob das Intervall
> abgeschlossen, offen oder halboffen ist. Ob du nun den
> Randpunkt mit reinnimmst oder nicht, hat auf das Integral
> keine Auswirkungen, denn einpunktige Mengen haben keine
> Ausdehnung.
Einen Unterschied kann es schon machen: naemlich wenn die Funktion an den Grenzen nicht definiert ist. In dem Fall schmeisst man halt die Zufallszahlen weg die genau auf den Grenzen liegen, und generiert neue (bei der Monte-Carlo-Methode). Das Volumen des Quaders aendert sich nicht wenn man die Randpunkte hinzunimmt oder weglaesst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:48 Mo 06.04.2009 | | Autor: | Jacek |
ich muss für den d-dimensionalen einheitswürfel ein entsprechendes [mm] \mu_{n} [/mm] angeben, sowie den Erwartungswert und die Varianz.
erhalte ich denn folgendes [mm] \mu_{n} [/mm] ?
[mm] ->\mu_{n} [/mm] = [mm] \bruch{c[0,1)^{d}}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(x) dx, [mm] x=(x_{1},...,x_{n})
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 08.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo Jacek,
Anstatt eine Volumenberechnung kann man als Analogie
eine Massenberechnung benützen:
Ist z.B. eine Kugel (Beispiel ein Planet oder ein Stern)
inhomogen mit Masse belegt, also z.B. mit einer
radial veränderlichen Dichte, dann berechnet man die
Masse des Körpers als
$\ Masse\ [mm] =\integral_{Volumen}Dichte(x,y,z)*dx\,dy\,dz$
[/mm]
Anstatt einer Vollkugel hast du jetzt als Integrations-
gebiet einen n-dimensionalen Würfel, dessen Inneres
in gewisser Weise inhomogen, aber durch Gleichungen
darstellbar, mit (Wahrscheinlichkeits-) Dichte belegt ist.
Analog zur Massenberechnung tritt jetzt die Berechnung
einer Gesamtwahrscheinlichkeit P:
$\ P\ [mm] =\integral_{n-Volumen}Wahrscheinlichkeitsdichte(\vec{x})*dx_1\,dx_2\,...\,dx_n$
[/mm]
Anschaulich vorstellen muss man sich dies (zumindest
falls n>3) glücklicherweise nicht unbedingt.
LG
|
|
|
|
