Integral im Vektorfeld < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Flächen:
[mm] F_{1}:x^{2}+y^{2}+z=1,z\ge0, [/mm]
[mm] F_{2}:x^{2}+y^{2}-z=1,z\le0.
[/mm]
Ferner sei G das von F1 und F2 eingeschlossene Gebiet und C die Schnittkurve von [mm] F_{1} [/mm] und [mm] F_{2}.
[/mm]
Es sei v: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Man bestimme den Wert des Integrals
[mm] \integral_{G}^{}{div v dx}
[/mm]
für das Vektorfeld:
[mm] v(x,y,z)=(xz^{2}-y,yz^{2}+x,x^{2}yz)^{T} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier eine Lösung für das Problem vorliegen. Leider verstehe ich sie nicht ganz.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei der Parametrisierung ist mir nicht klar, warum die Klammern beim letzten Intervall rund sind.
Bei dem dreifachen Integral ist der Inhalt der Klammer die Divergenz des Vektorfeldes mit den eingesetzten Parametern.
Aber woher kommt das r hinter der Klammer? Ich komme da einfach nicht drauf!
Gruß
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Di 04.08.2009 | | Autor: | elmer |
Hallo!
Eine Frage kann ich dir schon mal beantworten. Woher kommt das r. Also in dieser Aufgabe hast du die Parametrisierung für Zylinderkoordinaten verwendet. Wenn man das macht will man die Transformationsformel für Integrale benutzen, welche aus der Substitutionsregel im [mm] R^n [/mm] resultiert.
Nachdem man ein Integral auf andere Koordinaten transformiert hat, muß man daran deneken das integral mit dem Betrag der determinante der Jacobi Matrix von w zu multiplizieren. Bei Zylinderkoordinaten ist das gerade nur das r
lg
elmer
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Hallo,
danke für die Antwort! Das ist mir jetzt klar!
Wie sieht es beim Integral [mm] \integral_{F_{1}}^{}{rotv*n do} [/mm] aus (gleiches Vektorfeld wie bei der Anfangsaufgabe)?
[Dateianhang nicht öffentlich]
auch hier wurde das Integral auf andere Koordinaten transformiert, die Determinante der Jacobimatrix jedoch nicht eingerechnet.
Ich habe hier noch eine andere Aufgabe vorliegen, auch ein Integral rotv*n do. Dort wurde die Determinante der Jacobimatrix auch nicht eingerechnet.
Wann benötige ich die Determinante der Jacobimatrix, wann nicht?
Gruß
Alex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Interceptor,
> Hallo,
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> danke für die Antwort! Das ist mir jetzt klar!
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> Wie sieht es beim Integral [mm]\integral_{F_{1}}^{}{rotv*n do}[/mm]
> aus (gleiches Vektorfeld wie bei der Anfangsaufgabe)?
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> auch hier wurde das Integral auf andere Koordinaten
> transformiert, die Determinante der Jacobimatrix jedoch
> nicht eingerechnet.
> Ich habe hier noch eine andere Aufgabe vorliegen, auch ein
> Integral rotv*n do. Dort wurde die Determinante der
> Jacobimatrix auch nicht eingerechnet.
Wenn hier
[mm]x=w_{1}\left(r,\varphi\right)[/mm]
[mm]y=w_{2}\left(r,\varphi\right)[/mm]
[mm]z=w_{3}\left(r,\varphi\right)[/mm]
eine Parametertransformation ist,
dann ergibt sich das Oberflächenelement [mm]d\sigma[/mm] zu:
[mm]d\sigma=\wurzel{\operator{det}\left(\bruch{\partial\left(w_{2},w_{3}\right)}{\partial\left(r,\varphi}\right)\right)^{2}+\operator{det}\left(\bruch{\partial\left(w_{3},w_{1}\right)}{\partial\left(r,\varphi}\right)\right)^{2}+\operator{det}\left(\bruch{\partial\left(w_{1},w_{2}\right)}{\partial\left(r,\varphi}\right)\right)^{2}} \ dr \ d\varphi[/mm]
,wobei
[mm]\bruch{\partial\left(w_{i},w_{j}\right)}{\partial\left(r,\varphi\right)}=\pmat{\bruch{\partial w_{i}}{\partial r} & \bruch{\partial w_{j}}{\partial r} \\ \bruch{\partial w_{i}}{\partial \varphi} & \bruch{\partial w_{j}}{\partial \varphi}}, \ i,j \in \left\{1,2,3\right\}, \ i \not= j[/mm]
Mit [mm]w\left(r,\varphi\right)=\pmat{w_{1}\left(r,\varphi\right) \\ w_{2}\left(r,\varphi\right) \\ w_{3}\left(r,\varphi\right)}[/mm] wird [mm]d\sigma=\vmat{w_{r} \times w_{\varphi}} \ dr \ d\varphi[/mm]
Außerdem ist hier
[mm]n=\bruch{1}{\vmat{w_{r} \times w_{\varphi}}}*w_{r} \times w_{\varphi}[/mm]
die Einheitsnormale.
Dann ergibt sich
[mm]n*d\sigma=\bruch{1}{\vmat{w_{r} \times w_{\varphi}}}*w_{r} \times w_{\varphi}*\vmat{w_{r} \times w_{\varphi}} \ dr \ d\varphi=w_{r} \times w_{\varphi} \ dr \ d\varphi[/mm]
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> Wann benötige ich die Determinante der Jacobimatrix, wann
> nicht?
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> Gruß
>
> Alex
Gruss
MathePower
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