Integral hat mehrere Lösungen? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich bin ein bisschen verwirrt.
Ich habe das Integral [mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz}
[/mm]
Ich rechne mit dem Residuensatz:
Residuum an 1 ist 3, Residuum an 0 ist 2, Integral hat somit den Wert [mm] 2*\pi*i*5 [/mm] = [mm] 10*\pi*i
[/mm]
Nun rechne ich herkömmlich:
[mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\frac{5*3e^{iz}-2}{3e^{iz}-(3e^{iz}-1)}dz} [/mm] = 0
... seltsame Sache lol
Und jetzt mal mit Cauchy:
[mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5-\frac{2}{z}}{(z-1)}dz} [/mm] = [mm] 2*\pi*i*3 [/mm] = [mm] 6*\pi*i
[/mm]
Drei Wege, drei Lösungen. Schon seltsam!
Wisst ihr wo meine Fehler sind und welche Methode hier am versprechensten ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 08.07.2008 | | Autor: | fred97 |
1. Statt |z|<3 solltest Du |z| =3 schreiben.
2. dieses Integral
$ [mm] \integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{\frac{5\cdot{}3e^{iz}-2}{3e^{iz}-(3e^{iz}-1)}dz} [/mm] $
ist falsch. Statt "-" muß im Nenner "." stehen, außerdem hast Du die Ableitung des Weges vergessen.
3. Bei diesem Integral
$ [mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5-\frac{2}{z}}{(z-1)}dz} [/mm] $
kannst Du die Cauchysche Intgralformel nicht anwenden, denn 5-2/z ist in 0 nicht komplex diff. -bar.
FRED
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