Integral d. Ellipse o Stammfkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\gamma$ [/mm] der Weg einmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Rand der Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$. Es soll ohne Verwendung von Stammfunktionen gezeigt werden, dass gilt:
[mm] $\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}=\bruch{2\pi}{a*b}$
[/mm]
Tipps:
1.) Wegintegral von 1/z
2.) Homotopie-Invarianz |
Hallo, das Folgende habe ich schon herausgefunden:
Ich habe die Ellipse wie folgt parametrisiert:
[mm] $\gamma(t)=\vektor{a*\cos(t) \\ b*\sin(t)}$ [/mm] für [mm] $0\leq t\leq 2\pi$
[/mm]
Ich habe die Ableitung gebildet:
[mm] $\gamma'(t)=\vektor{-a*\sin(t) \\ b*\cos(t)}$ [/mm] für [mm] $0\leq t\leq 2\pi$
[/mm]
Ich habe die Länge L des Weges berechnet:
[mm] $L=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}$
[/mm]
Nun ist der Term unter der Wurzel der selbe wie in der Aufgabe im Nenner. Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Auch die gegebenen Tipps sagen mir bei der Aufgabe nichts. Kann mir jemand weiter helfen? Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Sa 11.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo F-Theoretikerin,
Deine Rechnung ist soweit okay und dass Du bei der Berechnung der Länge der Ellipsenberandung nicht weiterkommst, ist auch in Ordnung. Es gibt nämlich zu diesem Integral keine geschlossene Lösung und damit auch keine Stammfunktion. Meist behilft man sich mit einer Reihenentwicklung, die man dann nach den ersten Gliedern abbricht. An dieser Stelle komme ich aber auch nicht weiter, da ich mit den Hinweisen nichts anfangen kann.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 So 12.05.2024 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]\gamma[/mm] der Weg einmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf
> dem Rand der Ellipse mit den Halbachsen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Es soll
> ohne Verwendung von Stammfunktionen gezeigt werden, dass
> gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}=\bruch{2\pi}{a*b}[/mm]
So geschrieben handelt es sich doch um ein klassisches eindimensionales (Riemann-)Integral. Da ist der Weg die x-Achse von 0 bis [mm] $2\pi$. [/mm] Ich habe mich unten mit dem Integral
[mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{x^2+y^2}ds}[/mm] beschäftigt, wobei [mm] $\gamma$ [/mm] die besagte Ellipse sein soll.
>
> Tipps:
> 1.) Wegintegral von 1/z
> 2.) Homotopie-Invarianz
> Hallo, das Folgende habe ich schon herausgefunden:
>
> Ich habe die Ellipse wie folgt parametrisiert:
> [mm]\gamma(t)=\vektor{a*\cos(t) \\ b*\sin(t)}[/mm] für [mm]0\leq t\leq 2\pi[/mm]
>
> Ich habe die Ableitung gebildet:
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{-a*\sin(t) \\ b*\cos(t)}[/mm] für [mm]0\leq t\leq 2\pi[/mm]
>
> Ich habe die Länge L des Weges berechnet:
>
> [mm]L=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}[/mm]
>
> Nun ist der Term unter der Wurzel der selbe wie in der
> Aufgabe im Nenner. Ab hier komme ich leider nicht mehr
> weiter. Auch die gegebenen Tipps sagen mir bei der Aufgabe
> nichts. Kann mir jemand weiter helfen? Vielen Dank!
Naja, du sollst ja nicht L berechnen, das würde nicht funktionieren, wie schon gesagt worden ist. Bei der Berechnung von L wäre der Integrand = 1, hier sieht er anders aus. Daher geht es um das Integral
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{\wurzel{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}}dt}[/mm].
Der Radikand ist jetzt die Ellipse mit den Halbachsen a und b, also ist er = [mm] a^2*b^2 [/mm] und daher der Nenner = ab. Übrig bleibt der Kreisumfang, der ist bekanntlich [mm] $2\pi$
[/mm]
Das war jetzt etwas hemdsärmelig erklärt, pardon.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Mo 13.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo statler,
hier musst Du aber noch mal erklären, wie Du auf diese Art der Vereinfachung gekommen bist, das kann ich so nicht nachvollziehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Di 14.05.2024 | | Autor: | statler |
Lieber Mitstreiter Infinit!
Es ist jetzt leider so, daß ich das Ergebnis nicht erklären kann, weil es auch falsch ist. Das kommt, wenn man direkt in die Tastatur denkt, mein Fehler.
Der Ansatz der Aufgabe ist aber doch wohl, daß man ein ganz klassisches bestimmtes Integral auf dem Umweg über ein Wegintegral (also reelle Analysis mehrerer Veränderlicher oder Funktionentheorie) berechnen soll, wobei der Weg ja auch noch vorgeschlagen wird.
Aber was macht dieses 1/z da? Das deutet auf Funktionentheorie hin, Residuensatz?
Das Einzige, was mir klar ist, ist, daß es nicht um die Bogenlänge der Ellipse geht.
Können wir vielleicht gemeinsam Licht ins Dunkel bringen? In diesem Zustand ist das ja unbefriedigend.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Di 14.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Lieber Mitstreiter statler,
danke für diese Bestätigung, dass diese Erklärung verkehrt ist, was ich mir dachte. Ich könnte mir vorstellen, wie Du auf dieses Ergebnis gekommen bist, aber das ist egal jetzt, verlieren wir kein Wort mehr darüber.
Es wäre schön, von unserer Theoretikerin dazu noch etwas zu erfahren. Ich verstehe, um ehrlich zu sein, die beiden gegebenen Hilfen nicht. 1/z deutet sehr stark auf die Funktionentheorie hin, und da liegt bei einem Integral im Kompexen natürlich der Residuensatz nahe und man zeigt anshließend, dass die Integrale über weitere Teile dieser geschlossenen Kurve gegen Grenzwerte laufen, die man im Reellen ausrechnen kann als normales Kurvenintegral. Das würde ja auch zu den übrigen Aufgaben von F-Theoretikerin passen. Und was Homotopie-Invarianz ist, weiß ich als Nachrichtentechniker einfach nicht.
Was passiert denn bei der Abbildung im Komplexen bei er Abbildungsvorschrift [mm] w = \bruch{1}{z} [/mm]?
Ein wenig Rechnung zeigt doch:
[mm] w = \bruch{1}{x + iy} = \bruch{x}{x^2 + y^2} - i \bruch{y}{x^2 + y^2} [/mm]
Ich sehe aber eben nicht, wie dies direkt weiterhelfen kann.
Mal schauen, ob wir noch dahinter kommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Di 14.05.2024 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\gamma[/mm] der Weg einmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf
> dem Rand der Ellipse mit den Halbachsen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Es soll
> ohne Verwendung von Stammfunktionen gezeigt werden, dass
> gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}=\bruch{2\pi}{a*b}[/mm]
>
> Tipps:
> 1.) Wegintegral von 1/z
> 2.) Homotopie-Invarianz
> Hallo, das Folgende habe ich schon herausgefunden:
>
> Ich habe die Ellipse wie folgt parametrisiert:
> [mm]\gamma(t)=\vektor{a*\cos(t) \\ b*\sin(t)}[/mm] für [mm]0\leq t\leq 2\pi[/mm]
>
> Ich habe die Ableitung gebildet:
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{-a*\sin(t) \\ b*\cos(t)}[/mm] für [mm]0\leq t\leq 2\pi[/mm]
>
> Ich habe die Länge L des Weges berechnet:
>
> [mm]L=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}[/mm]
>
> Nun ist der Term unter der Wurzel der selbe wie in der
> Aufgabe im Nenner. Ab hier komme ich leider nicht mehr
> weiter. Auch die gegebenen Tipps sagen mir bei der Aufgabe
> nichts. Kann mir jemand weiter helfen? Vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Sei [mm] \gamma [/mm] wie oben.
Wegen der Homotopie -Invarianz ist
[mm] $\int_{\gamma} \bruch{1}{z} dz=\int_{|z|=1} \bruch{1}{z} [/mm] dz =2 [mm] \pi [/mm] i$.
Daraus sollte sich das Gewünschte ergeben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Di 14.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo Fred97,
man nutzt also aus, dass das geschlossene Integral über die Funktion [mm] \bruch{1}{z} [/mm] auf dem Einheitskreis über das Residuum zu berechnen ist, wie schon statler und ich "prophezeiten". Wie kommt aber gerade der Einheitskreis zustande? Für die Berandung der Ellipse gilt doch gerade nicht, dass der Betrag des Ortsvektors gerade 1 ergibt.
Kannst Du uns dazu noch etwas sagen?
Herzliche Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Di 14.05.2024 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred97,
> man nutzt also aus, dass das geschlossene Integral über
> die Funktion [mm]\bruch{1}{z}[/mm] auf dem Einheitskreis über das
> Residuum zu berechnen ist, wie schon statler und ich
> "prophezeiten". Wie kommt aber gerade der Einheitskreis
> zustande? Für die Berandung der Ellipse gilt doch gerade
> nicht, dass der Betrag des Ortsvektors gerade 1 ergibt.
> Kannst Du uns dazu noch etwas sagen?
> Herzliche Grüße,
> Infinit
Hallo Infinit,
die Homotopie-Invarianz sagt, dass das Integral über den Rand der Ellipse mit dem Integral über die Einheitskreislinie übereinstimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Mi 15.05.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo Fred,
das war der fehlende Baustein zur Lösung der Aufgabe, zumindest für mich. Wieder was gelernt, dazu ist man ja nie zu alt.
Viele Grüße und Dankeschön,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 15.05.2024 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]\gamma[/mm] der Weg einmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf
> dem Rand der Ellipse mit den Halbachsen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Es soll
> ohne Verwendung von Stammfunktionen gezeigt werden, dass
> gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}dt}=\bruch{2\pi}{a*b}[/mm]
>
> Tipps:
> 1.) Wegintegral von 1/z
> 2.) Homotopie-Invarianz
Dann wollen wir die Sache mal zu einem glimpflichen Ende bringen:
Voraussetzung ist offensichtlich, daß $a*b [mm] \neq [/mm] 0$ ist. Wir parametrisieren [mm] $\gamma$ [/mm] durch $z = [mm] a*\cos(t) [/mm] + [mm] ib*\sin(t), [/mm] 0 [mm] \leq [/mm] t [mm] \leq 2\pi$. [/mm] Dann ist $dz = [mm] (-a*\sin(t) [/mm] + [mm] ib*\cos(t))dt$ [/mm] und damit
[mm] $2\pi*i [/mm] = [mm] \integral_{\gamma}^{}\bruch{1}{z}dz [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{-a*\sin(t) + ib*\cos(t)}
{a*\cos(t) + ib*\sin(t)}}dt [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{(-a*\sin(t) + ib*\cos(t))*(a*\cos(t) - ib*\sin(t)}
{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}}dt [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{(-a^2+b^2)\sin(t)cos(t) + abi}
{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}}dt [/mm] = [mm] abi*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}
{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}}dt [/mm] + [mm] (b^2-a^2)*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\sin(t)\cos(t)}{a^2*cos(t)^2+b^2*\sin(t)^2}}dt$
[/mm]
Nun gilt im 2. Integranden für den Zähler Z [mm] Z(\pi [/mm] - x) = [mm] -Z(\pi [/mm] + x) und für den Nenner N [mm] N(\pi [/mm] - x) = [mm] N(\pi [/mm] + x), also ist der Integrand punktsymmetrisch zu t = [mm] \pi, [/mm] also ist das 2. Integral = 0, womit wir fertig wären.
Danke an die Beteiligten!
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Vielen vielen Dank für eure gebündelte Hilfe im Team! Das hat mir sehr weitergeholfen. Ich finde es allerdings echt heftig, dass wir hier Aufgaben gestellt bekommen, die mehrere von Euch auch nur gemeinschaftlich rauskriegen. Das ist viel zu schwer.
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| Aufgabe | Es sei S1(0) der gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Einheitskreis. Beweise die Darstellung:
[mm] \bruch{1}{n!} =\bruch{1}{2\pi i} \integral_{S1(0)}^{}{\bruch{exp(z)}{z^{n+1}} dz} [/mm] |
Wir haben noch eine weitere Formel zum Nachweisen bekommen. Die beiden Tipps sind
(1) vollständige Induktion nutzen ... soll ich bei n=0 oder n=1 anfangen?
und
(2) partielle Integration
Leider habe ich keine weitere Idee! Ich habe mehrfach versucht, das als neue Frage zu posten, aber es wurde nicht veröffentlicht, deswegen schreibe ich es hier hinter. Hat jemand eine Idee? Bin für jeden Tipp dankbar.
Ich habe die Frage auf keinen anderen Internetseiten gestellt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mi 22.05.2024 | | Autor: | statler |
> Es sei S1(0) der gegen den Uhrzeigersinn gedrehte
> Einheitskreis. Beweise die Darstellung:
> [mm]\bruch{1}{n!} =\bruch{1}{2\pi i} \integral_{S1(0)}^{}{\bruch{exp(z)}{z^{n+1}} dz}[/mm]
>
> Wir haben noch eine weitere Formel zum Nachweisen bekommen.
> Die beiden Tipps sind
> (1) vollständige Induktion nutzen ... soll ich bei n=0
> oder n=1 anfangen?
Die Gleichung ist jedenfalls für n=0 richtig. An und für sich gehört zu einer Formel oder Gleichung der Geltungsbereich, sollte also hier Teil der Aufgabenstellung sein.
> und
> (2) partielle Integration
>
Ich würde das ja aus der Potenzreihendarstellung von [mm] e^{z} [/mm] herleiten. Es gilt aber auch
[mm] $(-\bruch{1}{n+1}\bruch{e^{z}}{z^{n+1}})' [/mm] = [mm] \bruch{e^z}{z^{n+2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}\bruch{e^z}{z^{n+1}}$ [/mm] (Produktregel)
Jetzt integrierst du den ganzen Kram und brauchst aus deiner Vorlesung ein Argument, daß die linke Seite 0 ergibt. Dann kannst du mit der Induktionsannahme weitermachen.
> Leider habe ich keine weitere Idee! Ich habe mehrfach
> versucht, das als neue Frage zu posten, aber es wurde nicht
> veröffentlicht, deswegen schreibe ich es hier hinter. Hat
> jemand eine Idee? Bin für jeden Tipp dankbar.
s. o.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mi 22.05.2024 | | Autor: | fred97 |
> Es sei S1(0) der gegen den Uhrzeigersinn gedrehte
> Einheitskreis. Beweise die Darstellung:
> [mm]\bruch{1}{n!} =\bruch{1}{2\pi i} \integral_{S1(0)}^{}{\bruch{exp(z)}{z^{n+1}} dz}[/mm]
>
> Wir haben noch eine weitere Formel zum Nachweisen bekommen.
> Die beiden Tipps sind
> (1) vollständige Induktion nutzen ... soll ich bei n=0
> oder n=1 anfangen?
> und
> (2) partielle Integration
>
> Leider habe ich keine weitere Idee! Ich habe mehrfach
> versucht, das als neue Frage zu posten, aber es wurde nicht
> veröffentlicht, deswegen schreibe ich es hier hinter. Hat
> jemand eine Idee? Bin für jeden Tipp dankbar.
>
> Ich habe die Frage auf keinen anderen Internetseiten
> gestellt...
Ich würde die Cauchysche Integralformel für die n-te Ableitung nehmen....
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Danke an alle, habe es damit jetzt gelöst bekommen.
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