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Integral bestimmen per Definit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Mo 12.07.2010
Autor: LordPippin

Hallo,
ich möchte per Definition ein Integral in anderen Grenzen als in [0,1] lösen.
Es geht nur um das Prinzip, daher nehme ich als Beispiel eine einfache Aufgabe.
Ich habe [mm] f:[0,1]->\IR [/mm] f(x)=x

Per Definition ist : [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = sup [mm] US_{P}(f) [/mm] = inf [mm] OS_{P}(f) [/mm]

US = Untersumme
OS = Obersumme
P = Partition
[mm] I_{k} [/mm] = k-te Teilintervall
[mm] \Delta_{k} [/mm] = breite des k-ten Teilintervalls

[mm] OS_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}M_{k}(f)\Delta_{k} [/mm]
[mm] US_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}m_{k}(f)\Delta_{k} [/mm]
[mm] m_{k}(f)=inf\{f(x)|x\in I_{k}\} [/mm]
[mm] M_{k}(f)=sup\{f(x)|x\in I_{k}\} [/mm]

Für [mm] f:[0,1]->\IR [/mm]  f(x)=x

ergibt sich:

[mm] P=\{0,\bruch{1}{n},\bruch{2}{n},...,\bruch{n-1}{n},1\} [/mm]
[mm] I_{k}=[\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}] [/mm] und [mm] \Delta_{k}=\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] m_{k}(f)=inf\{f(x)|x\in [\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}]\}=\bruch{k-1}{n} [/mm]
[mm] M_{k}(f)=sup\{f(x)|x\in [\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}]\}=\bruch{k}{n} [/mm]
[mm] US_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}m_{k}(f)\Delta_{k}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k-1}{n}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{n}) [/mm]
[mm] OS_{p}(f) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}M_{k}(f)\Delta_{k}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{n}) [/mm]

Geht [mm] n\to\infty [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] sup [mm] US_{P}(f)= [/mm] inf [mm] OS_{P}(f)=\bruch{1}{2} [/mm]

Soweit ist das Schema klar. Nur was ist, wenn ich nicht in den Grenzen von 0-1, sondern z.B. in den Grenzen 0-4 oder 2-5 das Integral berechnen möchte?
Muss da wohl irgendwas an der Summe ändern. Habe aber überhaupt keine Idee.

Gruß LordPippin

        
Bezug
Integral bestimmen per Definit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Mo 12.07.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

du betrachtest ja immer das Intervall [mm] $[\bruch{k-1}{n},\bruch{k}{n}]$ [/mm]

Nun überleg dir mal, wieso du dann die Summe von k=1 bis n laufen lässt?
Welches Gesamtintervall betrachtest du dann?

Dann kommst bestimmt auch drauf, was du an der Summe ändern müsstest, um [0,4] zu betrachten :-)

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Integral bestimmen per Definit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:00 Di 13.07.2010
Autor: LordPippin

Hallo Gonozal_IX,
vielen Dank für deine Antwort.
Also müsste ich in diesem speziellen Fall die Summe bis 4n laufen lassen.

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Integral bestimmen per Definit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Di 13.07.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

genau so ist es :-)

MFG,
Gono.

Bezug
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