Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Fr 04.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo ihr Lieben ;)
ich habe mal wieder ein Integrationsproblemchen...
Also, folgende Funktion habe ich versucht zu integrieren, nur leider habe ich das Falsche raus, weiß aber nicht wo mein Fehler liegt, komme da einfach nicht hinter:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z-3}{5z-10 } dz} [/mm] soll integriert werden. Und ich bin folgendermaßen vorgegangen:
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch{z}{5z-10 } dz} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3}{5z-10} dz} [/mm]
= [mm] \bruch{z}{5} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z-2 } dz} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z-2 } dz} [/mm]
= [mm] \bruch{z}{5} [/mm] * ln(z-2) - [mm] \bruch{3}{5} [/mm] * ln(z-2)
= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * ( z*ln(z-2) - 3*ln(z-2))
So, für mich irgendwie der richtige Weg, ist aber falsch^^
Richtige Lösung lautet: [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * (z - ln(z-2))
Hoffe mir kann jemand helfen.
Danke schon mal im Voraus :)
LG
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Hallo uecki!
Du darfst nicht einfach den Term $z_$ vor das Integral ziehen, da es sich hier um die Integrationsvariable handelt.
Um diese Funktion integrieren zu können, musst Du erst eine  Polynomdivision durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo uecki,
> Hallo 
>
> Also ich habe jetzt einen anderen Weg gewählt:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{z-3}{5z-10} dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{5}*z*\bruch{1}{z-2}dz}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{5}* \integral_{}^{}{\bruch{1}{z-2} dz}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{5}*z*\bruch{1}{z-2}dz}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{5}*[/mm] ln(z-2)
>
> [mm]\to[/mm] partielle Integration für:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{5}*z*\bruch{1}{z-2}dz}[/mm]
> [mm]u=\bruch{1}{5}*z[/mm] u' = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> [mm]v'=\bruch{1}{z-2}[/mm] v = ln(z-2)
> [mm]\to \integral_{}^{}{\bruch{1}{5}*z*\bruch{1}{z-2}dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{5}*z[/mm] * ln(z-2) - [mm]\bruch{1}{5}* \integral_{}^{}{ln(z-2) dz}[/mm]
>
> So müsste es ja auch gehen...Allerdings habe ich
> verzweifelt überlegt wie man ln(z-2) integriert und habe
> dann im Internet die Lösung (z-2)*ln(z-2)-z
> gefunden...Könnte mir mal jemand erklären wie man darauf
> kommt??? Welche Regel wendet man da an, oder muss man sich
> das einfach so merken???
Hier wird wieder die partielle Integration mit [mm]v'=1, \ u=\ln\left(z-2\right)[/mm] verwendet:
[mm]\integral_{}^{}{\ln\left(z-2\right) \ dz}[/mm]
[mm]=z*\ln\left(z-2\right)-\integral_{}^{}{\bruch{z}{z-2} \ dz}[/mm]
[mm]=z*\ln\left(z-2\right)-\integral_{}^{}{\bruch{z-2+2}{z-2} \ dz}[/mm]
[mm]=z*\ln\left(z-2\right)-\integral_{}^{}{1+\bruch{2}{z-2} \ dz}[/mm]
[mm]=z*\ln\left(z-2\right)-z-2*\ln\left(z-2\right)[/mm]
[mm]=\left(z-2\right)*\ln\left(z-2\right)-z[/mm]
> Danke schon mal
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 07.09.2009 | | Autor: | uecki |
Und warum macht man das mit dem z-2+2 ??? Ab da verstehe ich die Schritte für die Integration nicht richtig...
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Hallo uecki,
> Und warum macht man das mit dem z-2+2 ??? Ab da verstehe
> ich die Schritte für die Integration nicht richtig...
Nun, um eine Polynomdivision, die Du ansonsten hättest, zu vermeiden.
Deshalb addiert man hier eine künstliche Null, hier: -2+2.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mo 07.09.2009 | | Autor: | uecki |
Achso, ok, ich verstehe es jetzt.
Habe als endgültige Lösung nun:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z-3}{5z-10} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}*z*ln(z-2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{5}*(z-2)*ln(z-2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{5}*z [/mm] - [mm] \bruch{3}{5}*ln(z-2)
[/mm]
LG
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> Achso, ok, ich verstehe es jetzt.
> Habe als endgültige Lösung nun:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{z-3}{5z-10} dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{5}*z*ln(z-2)[/mm] - [mm]\bruch{1}{5}*(z-2)*ln(z-2)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{5}*z[/mm] - [mm]\bruch{3}{5}*ln(z-2)[/mm]
Hallo,
was Du wohl getan hast, um diese Darstellung des Ergebnisses zu bekommen...
Fassen wir erstmal zusammen:
[mm] ...=\bruch{1}{5}*ln(z-2) [/mm] *[z-z+2-3] [mm] -\bruch{1}{5}*z=-\bruch{1}{5}*ln(z-2) -\bruch{1}{5}*z
[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt nicht ganz. Richtig käme [mm] -\bruch{1}{5}*ln(z-2) \red{+}\bruch{1}{5}*z [/mm] heraus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mo 07.09.2009 | | Autor: | uecki |
Ohje, jetzt habe ich es raus und es ist echt sooo einfach^^Man muss einfach die Augen auf machen.
Vielen Dank euch
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...es ist echt sooo einfach
Man muss einfach die Augen auf machen.
Sag das bitte weiter !
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Hallo uecki,
du kannst dir die Arbeit wesentlich vereinfachen,
wenn du zuerst den Integranden so umformst:
[mm] $\frac{z-3}{5\,z-10}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{5}*\frac{z-3}{z-2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{5}*\frac{(z-2)-1}{z-2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{5}*\left(1-\frac{1}{z-2}\right)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mo 07.09.2009 | | Autor: | uecki |
Ja, das leuchtet ein. Aber mache ich dann wieder eine partielle Integration hier?
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> Ja, das leuchtet ein. Aber mache ich dann wieder eine
> partielle Integration hier?
wieso partiell? du hast doch in der klammer eine summe aus 2 der elementarsten integrale, nämlich
[mm] \frac{1}{5}*(\integral_{}^{}{1 dx}-\integral_{}^{}{\frac{1}{z-2} dx})
[/mm]
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