Integral bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 So 17.12.2006 | | Autor: | borto |
hallo,
könnt ihr mir helfen, wie ich die stammfunktionen zu diesem integral bilden kann, bitte?
Danke im Voraus.
1) [mm] \bruch{1}{\wurzel{24+8x-16x^2}}
[/mm]
2) [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-(3x-2)^2}}
[/mm]
3) [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-(3x)^2}}
[/mm]
Lg
borto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo borto!
> 3) [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-(3x)^2}}[/mm]
Substituiere hier: $z \ := \ [mm] 1-(3x)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1-9x^2$ [/mm] mit $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ -18*x$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 17.12.2006 | | Autor: | vikin |
Hallo,
[mm] \bruch{x}{\wurzel{1-9x^2}}
[/mm]
z:= [mm] 1-9x^2
[/mm]
dx := [mm] \bruch{dz}{-18x}
[/mm]
Nun habe ich folgendes gemacht:
[mm] \bruch{x}{\wurzel{z}} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{-18x}
[/mm]
Nun habe ich die x's gekürzt.
Sodass ich folgendes raus habe:
[mm] \bruch{1}{-18 * \wurzel{z}} [/mm] =
- [mm] \bruch{1}{18 * z^(1/2)} [/mm] =
-18 * [mm] z^{- \bruch{1}{2}} [/mm]
Sodass die Stammfunktion, also die Aufleitung wie folgt lautet:
[ -36 * [mm] z^{\bruch{1}{2}} [/mm] ]
oder?
Also ich persönlich glaube, dass das falsch ist. Ich habe par werte eingestzt und es kommt was anderes raus als im derive.
Aber im Derive habe ich komischer Weise eine komplexe Lösung mit i wenn ich dort werte einsetze.
Ist nun die obige Aufleitung falsch oder doch richtig?
Bin sehr verwirrt.
Mit freundlichem Gruß
vikin
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Hi, vikin,
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-9x^2}}[/mm]
>
> z:= [mm]1-9x^2[/mm]
>
> dx := [mm]\bruch{dz}{-18x}[/mm]
>
> Nun habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{z}}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{-18x}[/mm]
>
> Nun habe ich die x's gekürzt.
Du musst schon hinschreiben, wann Du das Integral und wann die Stammfunktion meinst.
Das alles soll also noch die Umformung der Integrandenfunktion sein, stimmt's?
> Sodass ich folgendes raus habe:
>
> [mm]\bruch{1}{-18 * \wurzel{z}}[/mm] =
>
> - [mm]\bruch{1}{18 * z^(1/2)}[/mm] =
>
> -18 * z ^(1/2)
Die Umformung gibt's nicht!
Richtig wäre:
[mm] -\bruch{1}{18}*z^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
> Sodass die Stammfunktion, also die Aufleitung wie folgt
> lautet:
>
> [ -36 z ^(1/2) ]
Richtig wäre nach meiner obigen Bemerkung die Stammfunktion:
[mm] -\bruch{1}{9}*z^{\bruch{1}{2}} [/mm] (+c)
Und: Rücksubstitution nicht vergessen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 17.12.2006 | | Autor: | vikin |
Hallo,
und wirklich danke, das war ein sehr dummer Fehler von mir.
Nun habe ich auch das gleiche wie du rausbekommen.
Ich habe nun eine Frage zu der Aufgabe 1:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{24+8x-16x^2}}
[/mm]
Ganz spontan würde ich hier nun z:= [mm] 24+8x+16x^2 [/mm] nehmen.
Aber stört es, dass im Zähler kein x vorhanden ist, und ich diese x auch deshalb nicht wegmachen, also kürzen oder so kann.
Hättet ihr vielleicht Ansätze für mich?
Danke im Voraus.
Mit freundlichem Gruß
vikin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo viki!
Siehe auch Zwerglein's Antwort.
Mit einigen Umformungen / quadratischer Ergänzung erhält man im Nenner:
[mm] $\wurzel{24+8x-16x^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{25-(1-4x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{25*\left[1-\bruch{(4x-1)^2}{5^2}\right] \ } [/mm] \ = \ [mm] 5*\wurzel{1-\left(\bruch{4x-1}{5}\right)^2 \ }$
[/mm]
Nun den Ausdruck in den runden Klammern substituieren.
Gruß
Loddar
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Hi, vikin,
> könnt ihr mir helfen, wie ich die stammfunktionen zu diesem
> integral bilden kann, bitte?
>
> 1) [mm]\bruch{1}{\wurzel{24+8x-16x^2}}[/mm]
>
> 2) [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-(3x-2)^2}}[/mm]
Bei Aufgabe 2 musst Du z=(3x-2) substituieren; dann führt das auf den arcsin(z).
Bei Aufgabe 1 musst Du quadratisch ergänzen.
Dann bekommst Du in der Wurzel den Ausdruck: 25 - [mm] (4x-1)^{2}.
[/mm]
Nach entsprechender Umformung und Substitution ähnlich wie bei Aufgabe 2 kommst Du wieder zum arcsin.
mfG!
Zwerglein
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