Integral berechnen 2 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale
2. [mm] \integral_{0}^{\infty}{x exp(-x^2) dx} [/mm] |
Also ich soll jetzt auch noch dieses Integral berechnen aber weiß auch nicht wie ich anfangen soll. Da es sich ja um ein unbestimmtes Integral handel muss ich die Grenzen "ersetzten".
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{x exp(-x^2) dx}
[/mm]
Jetzt muss ich die Stammfunktion finden?????
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Hallo sissenge,
> Berechnen Sie folgende Integrale
> 2. [mm]\integral_{0}^{\infty}{x exp(-x^2) dx}[/mm]
> Also ich soll
> jetzt auch noch dieses Integral berechnen aber weiß auch
> nicht wie ich anfangen soll. Da es sich ja um ein
> unbestimmtes Integral handel muss ich die Grenzen
> "ersetzten".
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{n}{x exp(-x^2) dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt muss ich die Stammfunktion finden?????
Ja, es bietet sich eine Substitution an: [mm] $t=t(x):=-x^2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok. wenn ich dann substituiere muss ich auch wieder dx verändern oder?
Also dann dt/dx= exp(t)
dx= exp(-t) dt
oder?
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Hallo nochmal,
> Ok. wenn ich dann substituiere muss ich auch wieder dx
> verändern oder?
Ja!
>
> Also dann dt/dx= exp(t)
Nein, [mm] $\frac{dt}{dx}=t'(x)=-2x$
[/mm]
> dx= exp(-t) dt
>
> oder?
Nein, wie kommst du darauf? Es ist doch [mm] $t=t(x)=-x^2$ [/mm] - kein [mm] $\exp$ [/mm] drin!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ach stimmt ich habe den falschen Term genommen!!
also
dx= 1/(-2x) dt
dann habe ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{x exp(t) \bruch{1}{-2x} dt}
[/mm]
Dann kann ich jetzt noch kürzen und vorziehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -1/2 [mm] \integral_{0}^{n}{ exp(t) dt}
[/mm]
so und jetzt brauche ich die Stammfunktion zu exp(t)
und die ist exp(t)
so dann habe ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -1/2 (exp(b) - 1)
stimmt das???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ach stimmt ich habe den falschen Term genommen!!
> also
> dx= 1/(-2x) dt
>
> dann habe ich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{x exp(t) \bruch{1}{-2x} dt}[/mm]
Ne, wenn Du substituierst mußt Du auch die Integrationsgrenzen substituieren
Du bekommst dann:
-1/2 [mm]\integral_{0}^{-n^2}{ exp(t) dt}[/mm]
FRED
>
> Dann kann ich jetzt noch kürzen und vorziehen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] -1/2 [mm]\integral_{0}^{n}{ exp(t) dt}[/mm]
>
> so und jetzt brauche ich die Stammfunktion zu exp(t)
> und die ist exp(t)
> so dann habe ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] -1/2 (exp(b) - 1)
>
> stimmt das???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Wie komme ich auf die Grenze??
ok. dann steht da
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -1/2 [mm] (exp(-b^2 [/mm] -1)
oder??
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Hallo nochmal,
> Wie komme ich auf die Grenze??
Na, Du hast doch ersetzt mit [mm] t=-x^2.
[/mm]
Vorher waren die Grenzen in x angegeben, jetzt musst du sie in t angeben. Ausgangspunkt war das bestimmte Integral von x=0 bis [mm] x=+\infty, [/mm] das du richtig durch einen Grenzwert ersetzt hast. Dann "lief" es von 0 bis n.
Und da [mm] t=-x^2 [/mm] ist, läuft es jetzt von 0 bis [mm] -n^2.
[/mm]
Das hatte Dir Fred übrigens schon hier geschrieben.
Lies die Antworten genau. Manche Frage erübrigt sich dann.
> ok. dann steht da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] -1/2 [mm](exp(-b^2[/mm] -1)
> oder??
Wo kommt denn das b her?
[mm] \left[-\bruch{1}{2}e^t\right]_{0}^{-n^2}=?
[/mm]
Jedenfalls nicht das, was Du da oben stehen hast, auch nicht, wenn Du das b durch n ersetzt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ahhh ok danke!!
na ich muss doch dann obere Grenze minus untere machen also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -1/2 ( [mm] exp(-n^2) [/mm] -1 )
achsoo oder muss ich bevor ich die Grenzen einsetzte rücksubstituieren??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ahhh ok danke!!
>
> na ich muss doch dann obere Grenze minus untere machen also
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] -1/2 ( [mm]exp(-n^2)[/mm] -1 )
>
> achsoo oder muss ich bevor ich die Grenzen einsetzte
> rücksubstituieren??
Nein
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Di 24.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
nur damit es dich nicht mit der anderen Aufgabe durcheinanderbringt, die Du gerade bearbeitest:
Wenn Du, so wie hier, die substuierten Grenzen verwendest, dann darfst Du sogar nicht rücksubstituieren (es sei denn, Du nimmst dann auch die alten Grenzen).
Bei der anderen Aufgabe ist die Vorgehensweise nur deswegen anders, weil die Substitution der Grenzen da so viel Rechen- und Schreibarbeit ist, die man sich halt auch sparen kann.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ok... dh "normalerweise" muss ich garnicht rücksubstituieren??
und ich mach den Spaß bei der anderen Aufgabe nur weil es dann kürzer wird??
Wann muss ich denn dann wieder Rücksubtituieren??
Stimmt denn jetzt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -1/2 ( [mm] exp(-b^2) [/mm] -1)??
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Hallo nochmal,
> ok... dh "normalerweise" muss ich garnicht
> rücksubstituieren??
Nein, sag ich doch...
> und ich mach den Spaß bei der anderen Aufgabe nur weil es
> dann kürzer wird??
Ja, sag ich doch...
> Wann muss ich denn dann wieder Rücksubtituieren??
Wenn Du die Grenzen nicht mit substituiert hast. Dann ist es aber nicht "sauber". Korrekt ist es dann, wenn Du zwischendurch mit unbestimmten Integralen rechnest. Dann ist die Substitution sozusagen nur ein Werkzeug, um das Integral handhabbarer zu machen. Am Ende steht eine Lösung, die auch für das entsprechende bestimmte Integral gelten würde. Man darf dann den gleichen Rechenweg voraussetzen und eben die (rücksubstituierte) Lösung mit den (nicht substituierten) ursprünglichen Grenzen verwenden.
> Stimmt denn jetzt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] -1/2 (
> [mm]exp(-b^2)[/mm] -1)??
Nein, weil das b nirgendwo definiert ist. Jetzt stimmen aber die Klammern, und wenn Du endlich n statt b schreibst, hast Dus. Die Lösung ist [mm] (+)\bruch{1}{2}.
[/mm]
Größe
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ach tschuldigung mit dem b ich habe auf meinen Zettel mit b gerechnet und hier nur n genommen weil des bei dem limes schon dabei stand....
so dann geht [mm] exp(-n^2) [/mm] geht gegen null damit steht in der Klammer -1
-1 mal -1/2 ist + 1/2
Ok, jetzt habe ich wenigstens das mit den Grenzen endlich mal verstanden vielen Dank!!!
Es hat mir schon immer verwirrt, dass ich mal rücksubstituieren musste und mal nicht also danke!!!
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Hallo nochmal,
> Ach tschuldigung mit dem b ich habe auf meinen Zettel mit b
> gerechnet und hier nur n genommen weil des bei dem limes
> schon dabei stand....
>
> so dann geht [mm]exp(-n^2)[/mm] geht gegen null damit steht in der
> Klammer -1
>
> -1 mal -1/2 ist + 1/2 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Ok, jetzt habe ich wenigstens das mit den Grenzen endlich
> mal verstanden vielen Dank!!!
> Es hat mir schon immer verwirrt, dass ich mal
> rücksubstituieren musste und mal nicht also danke!!!
Gruß
schachuzipus
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