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| Aufgabe | Man berechne:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{dx}{(x-2)² \wurzel{x²-10x+13}} dx} [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll, ich hab überlegt den Bruch zu erweitern, so dass die Wurzel unter dem Bruch wegfällt, aber das bringt mich ja auch nicht wirklich weiter...
Gruß
Linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 So 18.01.2009 | | Autor: | urmelinda |
mir ist gerade aufgefallen, dass ich einen fehler gemacht habe. hinter dem burch steht kein dx. in der aufgabe ist also nur ein dx und zwar das im zähler. tut mir leid!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linda!
> Man berechne:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{dx}{(x-2)² \wurzel{x²-10x+13}} dx}[/mm]
>
> Hallo,
> ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll, ich hab
> überlegt den Bruch zu erweitern, so dass die Wurzel unter
> dem Bruch wegfällt, aber das bringt mich ja auch nicht
> wirklich weiter...
Da kannst eine Art Partialbruchzerlegung machen:
[mm] \bruch{1}{(x-2)^{2} \wurzel{x^{2}-10x+13}} = \bruch{A*\wurzel{x^{2}-10x+13}}{x-2} + \bruch{B*\wurzel{x^{2}-10x+13}}{(x-2)^2} + \bruch{Cx+D}{\wurzel{x^{2}-10x+13}} [/mm]
und die Konstanten A,B,C,D durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich bestimmen.
Das hilft weiter, aber es ist immer noch mühsam weiterzurechnen.
Es gibt allerdings einen Trick, solche Integrale in rationale umzuformen. Wenn du eine Wurzel der Form [mm] $\sqrt{x^2+bx+c}$ [/mm] hast, substituierst du
[mm] z = 2*\sqrt{x^2+b x+c} +2x + b [/mm]
Dann ist nämlich
[mm] x = \bruch{z^2-2bz+b^2-4c}{4z} [/mm]
und außerdem
[mm] \bruch{dz}{dx} = \bruch{2x+b}{\sqrt{x^2+b x+c}} +2 = \bruch{2x+b+2\sqrt{x^2+b x+c}}{\sqrt{x^2+b x+c}} \gdw \bruch{dx}{\sqrt{x^2+b x+c}} = \bruch{dz}{z} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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erstmal vielen dank für deine mühe. ich habe gerade von einem kommilitonen erfahren, dass wir bei dieser aufgabe 4 mal substituieren sollen, nur leider weiß ich nicht wie das mit dem 4 mal substituieren geht. bin für jeden tip dankbar!
gruß
linda
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Hallo urmelinda,
> erstmal vielen dank für deine mühe. ich habe gerade von
> einem kommilitonen erfahren, dass wir bei dieser aufgabe
> 4 mal substituieren sollen, nur leider weiß ich nicht wie
> das mit dem 4 mal substituieren geht. bin für jeden tip
> dankbar!
Wir haben das Integral:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\left(x-2\right)^{2}\wurzel{x^{2}-10x+13}} \ dx}[/mm]
Die erste Substitution erhältst Du,
wenn Du den Ausdruck unter der Wurzel etwas anders schreibst:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\left(x-2\right)^{2}\wurzel{\left(x-5\right)^{2}-12}} \ dx}[/mm]
Ziel ist , daß wir keinen Wurzelausdruck mehr im Integranden haben.
Dabei hilft die Substitution
[mm]x-5=\wurzel{12}*\cosh\left(t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \ dx= \wurzel{12}*\sinh\left(t\right) \ dt [/mm]
Diese Substitution gilt aber nur, wenn [mm] x\ge 5+\wurzel{12}[/mm]
Schreiben wir das Integral nochmal etwas anders:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\left(x-2\right)^{2}\wurzel{\left(x-5\right)^{2}-12}} \ dx}=\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\left(x-2\right)^{2}\left(x-5\right)^{2}\wurzel{1-\bruch{12}{\left(x-5\right)^{2}}}} \ dx}[/mm]
Diese Umformung geht nur, wenn [mm]\bruch{12}{\left(x-5\right)^{2}} < 1[/mm]
beziehungsweise [mm]\left(x-5\right)^{2} > 12[/mm]
Das ist hier gegeben, denn
[mm]\left(-1-5\right)^{2}=\left(-6\right)^{2}=36>12[/mm]
[mm]\left(1-5\right)^{2}=\left(-4\right)^{2}=16>12[/mm]
Daher bietet sich die Substitution
[mm]\bruch{\wurzel{12}}{x-5}=\sin\left(t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow -\bruch{\wurzel{12}}{\left(x-5\right)^{2}} \ dx \ =\cos\left(t\right) \ dt[/mm]
an.
So, und nun viel Spaß beim Integrieren.
>
> gruß
> linda
Gruß
MathePower
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Hey, also ich habe auch diese aufgabe zum berechnen und fleißig,
geschätzte 6stunden damit zugebracht, aber ich bekomme immer noch kein ergebniss, habe zwar tausend ansätze und alle laufen sie auf deine (mathepower) ergebinse herraus...
aber ich komme nicht weiter, nachdem ich die substition gemacht habe, habe ich sin² im zähler und im nenner 12+sin, damit komme ich auch irgendwie nicht weiter.
kannste vielleicht noch ein paar mehr tipps oder wege geben??
ansonsten gebe ichs zum erstenmal in mathe auf :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 20.01.2009 | | Autor: | Dath |
Ich habe das zwar jetzt nicht nachgerechnet, aber es scheint mir so, als ob du nur noch Trigonometrische Funktionen hast, wenn wir von dem konstanten Glied, was bei dir, glaube ich, 12 war, absehen. Dann bietet sich die sog. Generalsubstitution von trig. Funktionen an (Es ist kein Spezialfall erfüllt), d.h. du setzt:
[mm]t=tan(\bruch{x}{2})[/mm] [mm] sin(x)=\bruch{2t}{1+t^{2}}[/mm] [mm]cos(x)=\bruch{1-t^{2}}{1+t^{2}}[/mm] [mm] dx=\bruch{2dt}{1+t^{2}}[/mm]
Man muss natürlich noch zeigen, dass diese Substitution gilt, aber das ist mit den Additionstheoremen kein Problem, dennoch weiß ich nicht, ob ihr das schon verwenden dürft.
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