Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{A} f d \mu [/mm] bezüglich des Lebsque-Maßes auf [mm] \mathbb R^2 [/mm] in den folgenden Fällen:
(i) [mm] A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right] , & f(x,y) = (log x) x^y [/mm]
(ii) [mm] A = \left[ -1,1 \right] \times \left[-1,1 \right] , & f(x,y) = y ( e^{(1-y^2) \cos(x) } + yx^2 ) [/mm]. |
Guten Tag alle zusammen!
Ich weiß, dass diese Aufgaben wahrscheinliche sehr einfach sind zu berechnen, dennoch habe ich meine Probleme damit :-(.
Meine Ansatz bei der (i) ist der Folgende:
[mm] \integral_{0}^2 \integral_{1}^2 \log(x) x^y dx dy [/mm]
Ist dies soweit o.k?
Dann berechne ich das innere Integral über dx mit Hilfe der partiellen Integration und dann rechne ich über dy zum Schluss. Nur ich komme zu keinem richtigen Ergebnis..
Deswegen weiß ich nicht, ob der Weg falsch ist, oder ich ggf einen Rechenfehler habe..
Bei (ii) würde ich mit Polarkoordinaten arbeiten, wäre das der richtige Ansatz?
Danke schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 03.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{A} f d \mu[/mm] bezüglich
> des Lebsque-Maßes auf [mm]\mathbb R^2[/mm] in den folgenden Fällen:
>
> (i) [mm]A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right] , & f(x,y) = (log x) x^y[/mm]
>
> (ii) [mm]A = \left[ -1,1 \right] \times \left[-1,1 \right] , & f(x,y) = y ( e^{(1-y^2) \cos(x) } + yx^2 ) [/mm].
>
> Guten Tag alle zusammen!
>
>
> Ich weiß, dass diese Aufgaben wahrscheinliche sehr einfach
> sind zu berechnen, dennoch habe ich meine Probleme damit
> :-(.
>
> Meine Ansatz bei der (i) ist der Folgende:
>
> [mm]\integral_{0}^2 \integral_{1}^2 \log(x) x^y dx dy[/mm]
>
> Ist dies soweit o.k?
Das Doppelintegral ist OK.
Ich weiß nicht, was genau verlangt ist: Sollt ihr nachweisen, dass man das Lebesgue-Integral über das Rechteck [mm]A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right][/mm] als Doppelintegral schreiben kann, das heisst die Voraussetzungen des Satzes von Fubini nachweisen, oder wird das einfach als erlaubt vorausgesetzt?
> Dann berechne ich das innere Integral über dx mit Hilfe der
> partiellen Integration und dann rechne ich über dy zum
> Schluss. Nur ich komme zu keinem richtigen Ergebnis..
Was hast du denn gerechnet? Es ist wahrscheinlich einfacher, erst über y zu integrieren (mittels [mm]x^y = \mathrm{e}^{y\ln x}[/mm]).
> Bei (ii) würde ich mit Polarkoordinaten arbeiten, wäre das
> der richtige Ansatz?
Hmm. Polarkoordinaten bieten sich immer dann an, wenn man irgendeine Art von Rotationssymmetrie hat. Welche Form hat denn das Integrationsgebiet A?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
> Hallo!
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> > Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{A} f d \mu[/mm] bezüglich
> > des Lebsque-Maßes auf [mm]\mathbb R^2[/mm] in den folgenden Fällen:
> >
> > (i) [mm]A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right] , & f(x,y) = (log x) x^y[/mm]
>
> >
> > (ii) [mm]A = \left[ -1,1 \right] \times \left[-1,1 \right] , & f(x,y) = y ( e^{(1-y^2) \cos(x) } + yx^2 ) [/mm].
>
> >
> > Guten Tag alle zusammen!
> >
> >
> > Ich weiß, dass diese Aufgaben wahrscheinliche sehr einfach
> > sind zu berechnen, dennoch habe ich meine Probleme damit
> > :-(.
> >
> > Meine Ansatz bei der (i) ist der Folgende:
> >
> > [mm]\integral_{0}^2 \integral_{1}^2 \log(x) x^y dx dy[/mm]
> >
> > Ist dies soweit o.k?
>
> Das Doppelintegral ist OK.
>
> Ich weiß nicht, was genau verlangt ist: Sollt ihr
> nachweisen, dass man das Lebesgue-Integral über das
> Rechteck [mm]A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right][/mm] als
> Doppelintegral schreiben kann, das heisst die
> Voraussetzungen des Satzes von Fubini nachweisen, oder wird
> das einfach als erlaubt vorausgesetzt?
Ja, das weiß ich leider auch nicht... Ich kann das auch nicht aus der Aufgabenstellung ersehen:-(. Ich denke, dass es hier nur uns rechnen geht und nicht um den nachweis, dasss ich Fubini benutzen darf... Aber falls ich dies tun müsste, müsste ich doch zeigen, dass das Produktmaß hier integrabel ist, richtig? Und wie mach ich das?
> > Dann berechne ich das innere Integral über dx mit Hilfe der
> > partiellen Integration und dann rechne ich über dy zum
> > Schluss. Nur ich komme zu keinem richtigen Ergebnis..
>
> Was hast du denn gerechnet? Es ist wahrscheinlich
> einfacher, erst über y zu integrieren (mittels [mm]x^y = \mathrm{e}^{y\ln x}[/mm]).
Ich habe erst über x inegriert... Das ist wahrscheinlich ein Fehler gewesen. Kam etwas total kompliziertes raus. Werde es gleich anders herum ausprobieren!
> > Bei (ii) würde ich mit Polarkoordinaten arbeiten, wäre das
> > der richtige Ansatz?
>
> Hmm. Polarkoordinaten bieten sich immer dann an, wenn man
> irgendeine Art von Rotationssymmetrie hat. Welche Form hat
> denn das Integrationsgebiet A?
Soweit ich das sehe, könnt ich mir schon vorstellen, dass das eine Art Rotation ist, um die x - Achse? Ich kann mir leider sowas schlecht vorstellen... BIn schlecht dadrinnen  .
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 03.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> > Hallo!
> >
> > > Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{A} f d \mu[/mm] bezüglich
> > > des Lebsque-Maßes auf [mm]\mathbb R^2[/mm] in den folgenden Fällen:
> > >
> > > (i) [mm]A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right] , & f(x,y) = (log x) x^y[/mm]
>
> >
> > >
> > > (ii) [mm]A = \left[ -1,1 \right] \times \left[-1,1 \right] , & f(x,y) = y ( e^{(1-y^2) \cos(x) } + yx^2 ) [/mm].
>
> >
> > >
> > > Guten Tag alle zusammen!
> > >
> > >
> > > Ich weiß, dass diese Aufgaben wahrscheinliche sehr einfach
> > > sind zu berechnen, dennoch habe ich meine Probleme damit
> > > :-(.
> > >
> > > Meine Ansatz bei der (i) ist der Folgende:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^2 \integral_{1}^2 \log(x) x^y dx dy[/mm]
> > >
>
> > > Ist dies soweit o.k?
> >
> > Das Doppelintegral ist OK.
> >
> > Ich weiß nicht, was genau verlangt ist: Sollt ihr
> > nachweisen, dass man das Lebesgue-Integral über das
> > Rechteck [mm]A = \left[1,2\right] \times \left[0,2 \right][/mm] als
> > Doppelintegral schreiben kann, das heisst die
> > Voraussetzungen des Satzes von Fubini nachweisen, oder wird
> > das einfach als erlaubt vorausgesetzt?
>
> Ja, das weiß ich leider auch nicht... Ich kann das auch
> nicht aus der Aufgabenstellung ersehen:-(. Ich denke, dass
> es hier nur uns rechnen geht und nicht um den nachweis,
> dasss ich Fubini benutzen darf... Aber falls ich dies tun
> müsste, müsste ich doch zeigen, dass das Produktmaß hier
> integrabel ist, richtig? Und wie mach ich das?
Reicht es dafür nicht, dass A kompakt ist und f stetig und beschränkt auf A?
> Ich habe erst über x inegriert... Das ist wahrscheinlich
> ein Fehler gewesen. Kam etwas total kompliziertes raus.
Ja, da war ich dann auch zu faul und habe den Computer rechnen lassen. Aber es geht auf beiden Wegen.
> Werde es gleich anders herum ausprobieren!
>
> > > Bei (ii) würde ich mit Polarkoordinaten arbeiten, wäre das
> > > der richtige Ansatz?
> >
> > Hmm. Polarkoordinaten bieten sich immer dann an, wenn man
> > irgendeine Art von Rotationssymmetrie hat. Welche Form hat
> > denn das Integrationsgebiet A?
>
> Soweit ich das sehe, könnt ich mir schon vorstellen, dass
> das eine Art Rotation ist, um die x - Achse? Ich kann mir
> leider sowas schlecht vorstellen... BIn schlecht dadrinnen
> .
A ist ein Quadrat mit den Ecken (1,1), (-1,1), (1,-1), (-1,-1). Da würde ich erst einmal x und y stehen lassen und einzeln integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
So, ich habe viel gerechnet und bei der (i) folgendes Resultat herausbekommen:
[mm] \integral_{1}^2 \integral_{0}^2 ( \log(x) ) x^y dydx \\ = \integral_{1}^2 \integral_{0}^2 ( \log(x) ) e^{y \log(x)} dydx \\ =
\integral_{1}^2 ( \log(x) ) \cdot \integral_{0}^2 e^{y \log(x)} dydx \\ =
\integral_{1}^2 ( \log(x) ) \cdot \left[ \bruch{1}{\log(x)} \cdot
e^{y \log(x)} \right]_{0}^{2} dx \\ = \integral_{1}^2 ( \log(x) ) \cdot ( \bruch{1}{\log(x)} \cdot e^{2 \log(x) } - \bruch{1}{\log(x)} ) dx \\ =
\integral_{1}^2 e^{2 \log(x) } - 1 dx \\ = \integral_{1}^2 x^2 -1 = \bruch{4}{3} [/mm]
Ist dieses Ergebnis in Ordnung? Schaut für mich o.k aus...
Und zum (ii) muss ich leider sagen, dass Schwierigkeiten habe auf ein vernünftiges Ergebnis zu kommen :-(
Wenn ich versuche als ERstes über y zu integrieren mit parteiller Integration bekomme ich schon Probleme, denn irgendwie löst sich da nicht viel auf...
Ich wäre um ein Tipp ser dankbar! Vielleicht kann man den Ausdruck irgendwie vereinfachen, was dann die Integration einfacher gestaltet..
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen!
Das Ergebnis von (i) sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei Aufgabe (ii) solltest Du die große Klammer ausmultiplizieren und anschließend die Substitution $t \ := \ [mm] (1-y^2)*\cos(x)$ [/mm] durchführen (für das erste Teilintegral).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Wenn ich diese Substitution durchführe, sprich:
[mm] f(x,y) = y \cdot ( e^{(1-y^2) \cos(x) } + yx^2 ) \\
= y \cdot e^{(1-y^2) \cos(x) } + y^2x^2 \\
= y e^{t} + y^2x^2 [/mm]
herausbekommen, dann habe ich doch nun 3 Variablen... Oder sehe ich das falsch? Oder muss ich jetzt irgendwie das x und y auch anpassen? Oder betrachte ich das t jetzt nur als eine Konstante?
Viele Grüße
Irmchen
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Irmchen!
Betrachten wir also da Teilintegral $\integral{y*e^{(1-y^2)*\cos(x)} \ dy}$ separat.
Mit der genannten Substitution $t \ := \ (1-y^2)*\cos(x)$ musst Du nun auch das Differential $dy_$ durch die neue Integrationsvariable $d{\red{t}$ ersetzen:
$$t' \ = \ \bruch{dt}{dy} \ = \ -2y*\cos(x) \ \ \ \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \ \ \ \ dy \ = \ -\bruch{dt}{2y*\cos(x)}$$
Durch Einsetzen in o.g. Teilintegral kürzt sich dann das $y_$ heraus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Irgendwie klappt das bei mir nicht... Ich bin soweit gekommen:
[mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{-1}^{1} y \cdot e^{(1-y^2) \cos(x) } + y^2x^2 dydx = \\
\integral_{-1}^{1} \integral y \cdot e^{t} + y^2x^2 \cdot ( - \bruch{dt }{ 2y \cos(x) } dx = \\
\integral_{-1}^{1} \integral \bruch{- e^{t} \cdot yx^2 }{2 \cos(x) } dt dx = \\
\integral_{-1}^1 \bruch{yx^2}{2 \cos(x) } \integral - e^{t} dt dx = \\
....
[/mm]
Wäre das bis jetzt soweit o.k ? Irgendwie finde ich das sieht komisch aus... Aber wenn ich jetzt die neuen Integrationsgrenzen einsetze, dann integriere ich einfach von Null bis Null, und dann würde das komplette innere Integral wegfallen, und das denke ich ist nicht richtig...
Viele Grüße
Irmchen
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Irmchen!
Du musst schon die beiden Integrale $\integral{y*e^{(1-y^2)*\cos(x) \ dy}$ und $\integral{x^2*y^2 \ dy}$ getrennt betrachten und nicht wie hier wild durcheinander würfeln.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
So, ich habe die beiden Integrale einzeln betrachtet, und es sieht so aus:
[mm] \integral_{-1}^1 \integral_{-1}^1 y^2x^2 dxdy =
\integral_{-1}^1 y^2 \integral_{-1}^1 x^2 dxdy =
\integral_{-1}^1 \bruch{2}{3} y^2 dy =
\bruch{2}{3} \integral_{-1}^1 y^2 dy = \bruch{4}{9} [/mm]
Dieses war kein Problem. Aber bei dem anderen komme ich an einer Stelle nicht mehr weiter. Ich habe folgendes gemacht:
[mm]
\integral_{-1}^1 \integral_{-1}^1 y \cdot e^{ (1-y^2) \cos(x) } dydx =
\integral_{-1}^1 \integral y \cdot e^{t} \bruch{ -dt}{2y \cos(x) } dx =
\integral_{-1}^1 \integral \bruch{- e^{t} }{ 2 \cos(x) } dtdx =
\integral_{-1}^1 \bruch{1}{2 \cos(x) } dx \integral - e^{t} dt = ... [/mm]
So, und nun, weiß ich hier mit dem Grenzen von inneren Integral nicht so weiter... Denn bei mir kommt bei den Grenzen beides Null heraus... Und somit wäre das komplette Null. Ich denke, dass ich da einen Fehler habe, nur wo?
Vielen Dankin vorraus!
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Di 04.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] -e^t [/mm] an den Grenzen -1 bis +1 ergibt -e+1/e und nicht 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Oh sorry, ich habe die ganze Zeit die Grenzen in den Term ( an die Stelle von y ) eingesetzt, denn ich substituiert habe , also in [mm] t := ( 1 - y^2 ) \cos (x) [/mm] . Um neuen Integralgrenzen herauszufinden.
Ist das nicht richtig? Muss ich nicht sie ursprünglichen Grenzen,also -1 und 1 der Substitution anpassen? Und dann die neuen Grenzen in die Stammfunktion von [mm]^-e^{t} [/mm] einsetzen?
Gruß Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Oh sorry, ich habe die ganze Zeit die Grenzen in den Term (
> an die Stelle von y ) eingesetzt, denn ich substituiert
> habe , also in [mm]t := ( 1 - y^2 ) \cos (x)[/mm] . Um neuen
> Integralgrenzen herauszufinden.
>
> Ist das nicht richtig? Muss ich nicht sie ursprünglichen
> Grenzen,also -1 und 1 der Substitution anpassen?
Da hast du recht. Und das Integral ist wirklich 0.
Es gibt in diesem speziellen Fall eine einfache Methode, das Ergebnis herauszubekommen, ohne groß zu rechnen, oder gar zu substituieren. Wenn ich nur das Integral über y betrachte, dann ist dieses Integral vom Typ
[mm] \integral_{-a}^{+a} {f(x,y) dy} [/mm] mit [mm] f(x,-y) = -f(x,y)[/mm]
Ein solches Integral ist immer 0, weil f eine ungerade Funktion von y ist (wenn das Integral überhaupt existiert):
[mm] \integral_{-a}^{+a} {f(x,y) dy} = \integral_{-a}^0 {f(x,y) dy} + \integral_{0}^{+a} {f(x,y) dy} [/mm]
Den ersten Summanden formt man mittels der Substitution [mm] y\mapsto -y[/mm] zu
[mm] -\integral_{+a}^{0} {f(x,-y) dy} = -\integral_{0}^{+a} {f(x,y) dy}[/mm]
um.
Insgesamt kommt also 4/9 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Danke vielmals für Eure Mühe!
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Di 04.12.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
sorry, ich war zu schnell und hab nicht gründlich gelesen! Du hast völlig recht!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:55 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Ich habe jetzt die Integrale berechnet und bin somit fertig damit. Aber ich habe ja immer den Satz von Fubini angewendet und frage mich gerade womit ich das begründen kann... f ist stetig und meine Menge A ist kompakt . Und für den Fubini muss f integrabel sein.... Reicht das als Begründung?
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 So 09.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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