Integral ( allg. ) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 01.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Wir haben als Vorbereitung für den Satz von Fubini den folgenden Satz angeschrieben:
Satz :
Sei f eine nicht - negative messbare Funktion auf [mm] \mathbb R^n [/mm]
und sei [mm] M^{f} : = \{ (x,t) \in \mathbb R^n x \mathbb R | 0 \le t \le f(x) \}. [/mm]
Dann ist [mm] M^{f} \in \mathcal B^{n+1} [/mm] und
[mm] \lambda^{n+1} ( M^{f} ) = \integral_{ \mathbb R^n } f d \lambda^{n} [/mm].
1. Frage:
Wie kann ich mir diese Menge vostellen und wofür benutzt man diese?
Beweis :
Klar, dass [mm] [mm] M^{f} \in \mathcal B^{n+1} [/mm] .
( Frage 2 : Warum ? )
Dann ist
[mm] \lambda^{n+1} ( M^{f} ) = \integral_{ \mathbb R^n } \lambda^1 (( M^{f} )_x d \lambda^n (x) = \integral_ { \mathbb R^n } f(x) dx [/mm].
( 3. Frage :
Sehe ich das richtig, dass die Menge [mm] (M^{f} )_x = \{ t \in \mathbb R | (x,t) \in M^{f} \} \subseteq \mathbb R [/mm] ?
Falls dies stimmt, dass verstehe ich irgendwie nicht, warum [mm] d \lambda^n (x) [/mm]. )
( 4. Frage :
Was ist die Bedeutung dieses Satzes? )
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Fr 02.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Hallo alle zusammen!
>
> Wir haben als Vorbereitung für den Satz von Fubini den
> folgenden Satz angeschrieben:
>
> Satz :
>
> Sei f eine nicht - negative messbare Funktion auf [mm]\mathbb R^n[/mm]
>
> und sei [mm]M^{f} : = \{ (x,t) \in \mathbb R^n x \mathbb R | 0 \le t \le f(x) \}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]M^{f} \in \mathcal B^{n+1}[/mm] und
>
> [mm]\lambda^{n+1} ( M^{f} ) = \integral_{ \mathbb R^n } f d \lambda^{n} [/mm].
>
> 1. Frage:
>
> Wie kann ich mir diese Menge vostellen und wofür benutzt
> man diese?
Betrachte doch mal den Fall n=1: dann ist f eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\R$ [/mm] und [mm] $M^f$ [/mm] die Fläche zwischen dem Grafen von f und der x-Achse.
Im Fall n=2 kannst du dir f als eine Fläche über der xy-Ebene vorstellen; [mm] $M^f$ [/mm] ist dann das Volumen zwischen dieser Fläche und der xy-Ebene.
>
>
> Beweis :
>
> Klar, dass [mm]M^{f} \in \mathcal B^{n+1}[/mm] .
>
> ( Frage 2 : Warum ? )
Weil f messbar ist. Wie sieht denn die charakteristische Funktion von [mm] $M^f$ [/mm] aus?
> Dann ist
>
>[mm]\lambda^{n+1} ( M^{f} ) = \integral_{ \mathbb R^n } \lambda^1 (( M^{f} )_x d \lambda^n (x) = \integral_ { \mathbb R^n } f(x) dx [/mm].
>
>( 3. Frage :
>
>Sehe ich das richtig, dass die Menge [mm](M^{f} )_x = \{ t \in \mathbb R | (x,t) \in M^{f} \} \subseteq \mathbb R[/mm] ?
Ja.
> Falls dies stimmt, dass verstehe ich irgendwie nicht, warum [mm]d \lambda^n (x) [/mm]. )
Da verstehe ich deine Frage nicht. Da steht die Formel von Cavalieri.
> ( 4. Frage :
>
> Was ist die Bedeutung dieses Satzes? )
Es ist die Verallgemeinerung der Aussage, dass die Fläche zwischen Funktionsgraf und x-Achse durch das Integral über die Funktion berechnet werden kann.
Viele Grüße
Rainer
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