Integral, Integrierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:12 Mi 10.03.2010 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Gegeben:
(1): [mm] $u\inC^2_b(\IR^2,\IR^m)$
[/mm]
(2): [mm] $u(x)\rightarrow 0\in\IR^m$ [/mm] fuer [mm] $|x|\rightarrow\infty$
[/mm]
Zeige:
[mm] $\int_{\IR^2}\Vert{u(x)}\Vert_{\IR^m}^2dx<\infty$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Meine Idee:
Wegen (2) gilt:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\overline{R}=\overline{R}(\varepsilon)>0\;\forall\,|x|=R\geqslant\overline{R}:\;\Vert{u(x)}\Vert_{\IR^m}\leqslant\varepsilon$
[/mm]
Waehle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig aber fest und waehle [mm] $R\geqslant\overline{R}$, [/mm] dann haben wir zunaechst
[mm] $\int_{\IR^2}\Vert{u(x)}\Vert_{\IR^m}^2dx=\int_{B_R}\Vert{u(x)}\Vert_{\IR^m}^2dx+\int_{\IR^2\backslash B_R}\Vert{u(x)}\Vert_{\IR^m}^2dx$
[/mm]
1. Integral: $u$ nimmt wegen der Stetigkeit (1) auf der kompakten Menge [mm] $B_R$ [/mm] ein Betragsmaximum $C=C(R)>0$ an, damit folgt:
[mm] $\int_{B_R}\Vert{u(x)}\Vert_{\IR^m}^2dx=2\pi RC^2$
[/mm]
Woraus laesst sich nun schliessen, dass das andere Integral beschraenkt ist?
Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 12.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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